[논문 리뷰] Deterministic Graph Cuts in Subquadratic Time: Sparse, Balanced, and k-Vertex

Yu Gao, Jason Li외 4명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 17.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 80인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 균형 잡힌 희박 컷과 k-정점 연결성 문제를 다항식 시간 이하로 해결하는 최초의 결정적 알고리즘을 제시하며, 오랫동안 지속된 이차시간 장벽을 뛰어넘었다. 새로운 형태의 컷-매칭 게임, 확산기반 스퍼피케이션, 그리고 페이지랭크 행렬과 J-트리에 기반한 재귀적 접근을 결합함으로써, 희박 그래프에서 균형 잡힌 희박 컷을 계산하는 데 O(m^{1.5+o(1)}) 시간 복잡도를 달성하고, k = O(polylog n)일 경우 k-정점 연결성 문제에 대해 이차시간 이하의 시간 복잡도를 확보하였다.

ABSTRACT

We study deterministic algorithms for computing graph cuts, with focus on two fundamental problems: balanced sparse cut and $k$-vertex connectivity for small $k$ ($k=O(\polylog n)$). Both problems can be solved in near-linear time with randomized algorithms, but their previous deterministic counterparts take at least quadratic time. In this paper, we break this bound for both problems. Interestingly, achieving this for one problem crucially relies on doing so for the other. In particular, via a divide-and-conquer argument, a variant of the cut-matching game by [Khandekar et al.`07], and the local vertex connectivity algorithm of [Nanongkai et al. STOC'19], we give a subquadratic time algorithm for $k$-vertex connectivity using a subquadratic time algorithm for computing balanced sparse cuts on sparse graphs. To achieve the latter, we improve the previously best $mn$ bound for approximating balanced sparse cut for the whole range of $m$. This starts from (1) breaking the $n^3$ barrier on dense graphs to $n^{ω+ o(1)}$ (where $ω< 2.372$) using the the PageRank matrix, but without explicitly sweeping to find sparse cuts; to (2) getting the $ ilde O(m^{1.58})$ bound by combining the $J$-trees by [Madry FOCS `10] with the $n^{ω+ o(1)}$ bound above, and finally; to (3) getting the $m^{1.5 + o(1)}$ bound by recursively invoking the second bound in conjunction with expander-based graph sparsification. Interestingly, our final $m^{1.5 + o(1)}$ bound lands at a natural stopping point in the sense that polynomially breaking it would lead to a breakthrough for the dynamic connectivity problem.

연구 동기 및 목표

• 기본적인 그래프 컷 문제에 대해 랜덤화된 근사 선형 시간 알고리즘과 결정적 이차시간 알고리즘 사이의 오랫동안 지속된 격차를 해소하기 위해.
• 희박 그래프에서 균형 잡힌 희박 컷과 k-정점 연결성 문제에 대해 첫 번째 결정적 이차시간 이하 알고리즘을 개발하기 위해.
• k-정점 연결성 문제를 해결하는 것과 낮은 도선도를 가진 균형 잡힌 컷을 계산하는 것 사이의 밀접한 상호의존성을 확립함으로써 이를 달성하기 위해.
• 모든 그래프 밀도에서 균형 잡힌 희박 컷을 근사하는 데 있어 m·n의 복잡도를 뛰어넘고, 결과적으로 O(m^{1.5+o(1)}) 시간 알고리즘을 도출하기 위해.
• m^{1.5+o(1)} 복잡도를 더 향상시키는 것은 다이나믹 커넥티비티 문제에 대한 돌풍 같은 성과를 의미할 것임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 근사적인 낮은 도선도를 가진 컷을 서브루틴으로 사용하는 결정적 컷-매칭 게임의 신규 변형을 설계하기 위해.
• 확산기반 그래프 스퍼피케이션을 사용하여 그래프 크기를 유지하면서도 핵심 컷 성질을 보존하는 재귀적 방법을 적용하기 위해.
• 밀도가 높은 그래프에서 낮은 도선도 컷을 계산하기 위해 페이지랭크 행렬을 적용하여 n^{ω+o(1)} 시간 내에 해결하며, 여기서 ω < 2.372이다.
• J-트리와 페이지랭크 기반 방법을 조합하여 희박 그래프에서 O(m^{1.58}) 시간 복잡도를 달성하기 위해.
• k-정점 연결성 문제를 균형 잡힌 희박 컷 계산으로의 다중 분할-정복 전환 전략을 사용하기 위해.
• 나노농카이 등(STOC’19)의 국소 정점 연결성 알고리즘을 재귀적 프레임워크의 핵심 원천으로 활용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균형 잡힌 희박 컷과 k-정점 연결성 문제에 대해 결정적 알고리즘을 이차시간 이하로 계산할 수 있는가?
• RQ2 확산기반 임bedding과 부피 기반 분석을 통해 효율적인 결정적 계산이 가능한 정점 컷의 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ3 낮은 도선도 컷 근사치를 사용하는 결정적 컷-매칭 게임은 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 균형 잡힌 희박 컷 계산의 자연스러운 복잡도 한계는 다이나믹 커넥티비티 문제와 같은 다른 문제의 돌풍 같은 성과와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 정점 확산도와 간선 도선도 사이의 상호작용을 어떻게 활용하여 결정적 이차시간 이하 알고리즘을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 희박 그래프에서 가장 균형 잡힌 낮은 도선도 컷을 계산하는 데 O(m^{1.5+o(1)}) 시간 복잡도를 달성하여 이전의 O(mn) 복잡도를 향상시켰다.
• 밀도가 높은 그래프에서는 ω < 2.372이므로 n^{ω+o(1)} 시간 내에 실행되며, 균형 잡힌 희박 컷 근사에 대해 n^3 장벽을 뛰어넘었다.
• k = O(polylog n)일 경우 k-정점 연결성 문제에 대해 다각형 분할 전략을 통해 균형 잡힌 희박 컷 계산으로의 감소를 통해 이차시간 이하 알고리즘을 달성하였다.
• 최종적으로 m^{1.5+o(1)} 복잡도는 개선이 어려운 자연스러운 정지점임을 입증하였으며, 이를 더 향상시키는 것은 다이나믹 커넥티비티 문제에 대한 돌풍 같은 성과를 의미한다.
• 알고리즘은 Ω(β)-균형성과 Ω(Φ_in)-확산도를 유지하여 계산된 컷이 균형 잡히고 낮은 도선도를 가짐을 보장한다.
• 분석을 통해 결과 컷의 정점 확산도가 원래 도선도의 Ω(Φ_G^{in}) 배수임을 증명하였으며, 컷의 품질을 유지함을 입증하였다.