[논문 리뷰] Dg analogues of the Zuckerman functors and the dual Zuckerman functors II

Takuma Hayashi|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 14.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 모델 범주 이론을 사용하여 dg Zuckerman 함자 및 그 쌍대의 유도 함자를 구성하며, dg 쌍과 약한 쌍 위의 모듈러 범주에 대해 조합적 모델 구조를 수립한다. 주요 기여는 왼쪽 Quillen 함자들을 통한 유도 함자의 비유계 구성이며, 특성 0과 재수성 군의 가정 하에 임베딩 모델 구조와 프로젝티브 모델 구조 간의 동치 결과를 제시한다.

ABSTRACT

In the first part of this series of papers we constructed dg analogues of the Zuckerman functors over commutative rings and the dual Zuckerman functors over the field of complex numbers. In this paper we construct their derived functors in view of the theory of model categories.

연구 동기 및 목표

• 비유계 유도 범주에서 dg Zuckerman 함자 및 그 쌍대의 유도 함자를 정의하고 구성하는 것.
• 유도 함자를 위한 적합한 조건을 만족하는 dg 약한 쌍과 쌍 위의 모듈러 범주에 대해 조합적 모델 구조를 수립하는 것.
• 특성 0과 재수성 군의 가정 하에 이러한 모듈러 범주 위의 프로젝티브 및 임베딩 모델 구조가 Quillen 동치임을 증명하는 것.
• 이전의 dg Zuckerman 함자에 대한 결과를 모델 범주를 통한 호모토피 대수학을 통합하여 확장하는 것.

제안 방법

• 특히 Quillen의 프레임워크를 활용하여 dg Zuckerman 함자에 대한 유도 함자를 구성하기 위해 모델 범주 이론을 사용한다.
• 전이 정리(정리 2.5.1)를 적용하여, 수반 함자들을 통한 $K\textrm{-} extrm{mod}$ 에서 $(\tilde{A},K)\textrm{-}\textrm{mod}_{w}$ 와 $(\tilde{A},K)\textrm{-}\textrm{mod}$ 로 프로젝티브 모델 구조를 이전한다.
• 경로 객체를 $M \bigoplus M \to M$ 의 사영 콘의 $[-1]$-이동을 사용하여 정의함으로써 오른쪽 호모토피를 구성한다.
• 오른쪽 호모토피가 $(\mathcal{A},K)$-모듈의 체인 호모토피와 정확히 일치함을 증명한다.
• Quillen 동치 기준을 적용하여 항등 함자가 임베딩 모델 구조와 프로젝티브 모델 구조 간에 Quillen 동치를 유도함을 보인다.
• 모델 구조의 동치를 확보하기 위해 $k$ 가 특성 0인 체이고 $K$ 가 재수성임을 가정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 모델 범주 이론을 사용하여 dg Zuckerman 함자에 대한 유도 함자를 구성할 수 있는가?
• RQ2 임베딩 모델 구조와 프로젝티브 모델 구조가 $(\mathcal{A},K)$-모듈의 범주에서 언제 Quillen 동치가 되는가?
• RQ3 약한 쌍 위의 dg 모듈의 맥락에서 체인 호모토피와 오른쪽 호모토피 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 프로젝티브 모델 구조 하에서 함자 $P^{\mathcal{B},L}_{\mathcal{A},K,w}$ 와 $P^{\mathcal{B},L}_{\mathcal{A},K}$ 는 왼쪽 Quillen 함자로 어떻게 행동하는가?
• RQ5 모듈러 범주 간의 忘却 함자가 왼쪽 수반 함수를 가지며, 이들이 유도 함수와 호환됨을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• $K\textrm{-}\mathrm{mod}$ 에서의 전이를 통해 $(\mathcal{A},K)\textrm{-}\mathrm{mod}_{w}$ 와 $(\mathcal{A},K)\textrm{-}\mathrm{mod}$ 에 조합적 모델 구조를 구성하였으며, 여유공간은 전사 사상, 약한 동치는 준위치동치로 정의된다.
• $K$ 와 $L$ 이 재수성일 경우, 함자 $P^{\mathcal{B},L}_{\mathcal{A},K,w}$ 와 $P^{\mathcal{B},L}_{\mathcal{A},K}$ 는 프로젝티브 모델 구조에 대해 왼쪽 Quillen 함자로 나타난다.
• $k$ 가 특성 0인 체이고 $K$ 가 재수성일 경우, 왼쪽 Quillen 성질을 통해 비유계 유도 함자 $\mathbb{L}P^{\mathcal{B},L}_{\mathcal{A},K,w}$ 와 $\mathbb{L}P^{\mathcal{B},L}_{\mathcal{A},K}$ 가 잘 정의된다.
• 경로 객체 구성에 의한 오른쪽 호모토피가 $(\mathcal{A},K)$-모듈의 체인 호모토피와 정확히 일치한다.
• $k$ 가 특성 0인 체이고 $K$ 가 재수성일 경우, 항등 함자가 $(\mathcal{A},K)\textrm{-}\mathrm{mod}_{w}$ 와 $(\mathcal{A},K)\textrm{-}\mathrm{mod}$ 의 임베딩 모델 구조와 프로젝티브 모델 구조 간에 Quillen 동치를 유도한다.
• 모델 구조는 적절하며, 약한 동치는 두 번 중 하나의 성질을 만족하고 재취소에 대해 닫혀 있다.