[논문 리뷰] Diagonal-unitary t-designs and their constructions

Yoshifumi Nakata, Mio Murao|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 20.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 균일하게 분포된 위상 값을 가진 랜덤 대각선 유니터리 행렬인 대각선 유니터리 t-디자인을 도입하고, N- 큐비트 시스템에서 정확한 및 근사적인 2-디자인을 생성하기 위한 두 가지 양자 회로를 제안한다. 첫 번째 회로는 모든 큐비트 쌍에 대해 랜덤화된 제어-위상 게이트를 적용하여 O(N²) 게이트로 정확한 2-디자인을 구현한다. 두 번째 회로는 랜덤으로 선택된 큐비트 쌍에 제어-Z 게이트를 사용하여 ϵ-근사 2-디자인을 구현하며, 이 경우 최대 O(N²(N + log 1/ϵ))의 게이트를 요구한다. 이는 정확한 랜덤 상태 2-디자인을 O(N)의 고전적 비트로 효율적으로 생성할 수 있게 한다.

ABSTRACT

We study efficient generations of random diagonal-unitary matrices, an ensemble of unitary matrices diagonal in a given basis with randomly distributed phases for their eigenvalues. Despite the simple algebraic structure, they cannot be achieved by quantum circuits composed of a few-qubit diagonal gates. We introduce diagonal-unitary $t$-designs and present two quantum circuits that implement diagonal-unitary $2$-designs with the computational basis in $N$-qubit systems. One is composed of single-qubit diagonal gates and controlled-phase gates with randomized phases, which achieves an exact diagonal-unitary $2$-design after applying the gates on all pairs of qubits. The number of required gates is $N(N-1)/2$. If the controlled-Z gates are used instead of the controlled-phase gates, the circuit cannot achieve an exact $2$-design, but achieves an $\epsilon$-approximate $2$-design by applying gates on randomly selected pairs of qubits. Due to the random choice of pairs, the circuit obtains extra randomness and the required number of gates is at most $O(N^2(N+\log1/\epsilon))$. We also provide an application of the circuits, a protocol of generating an exact $2$-design of random states by combining the circuits with a simple classical procedure requiring $O(N)$ random classical bits.

연구 동기 및 목표

• 균일하게 분포된 위상을 가진 대각선 유니터리 행렬을 생성하는 효율적인 양자 회로를 개발하여 N-큐비트 시스템에서 2-디자인을 형성한다.
• 단지 소수의 큐비트에 대한 대각선 게이트만으로는 대각선 유니터리 행렬을 구성할 수 없는 제한을 극복한다.
• 최소한의 게이트 수와 고전적 랜덤성으로 정확하고 근사적인 대각선 유니터리 2-디자인을 제공한다.
• 낮은 고전적 비트 복잡도를 가진 하이브리드 양자-고전적 프로토콜을 통해 정확한 랜덤 양자 상태 2-디자인을 생성할 수 있도록 한다.

제안 방법

• 모든 큐비트 쌍에 대해 랜덤화된 위상 값을 가진 단일 큐비트 대각선 게이트와 제어-위상 게이트를 사용하여 정확한 대각선 유니터리 2-디자인을 달성하는 양자 회로를 구성한다.
• 제어-위상 게이트 대신 제어-Z 게이트를 사용하고, 큐비트 쌍을 랜덤으로 선택하여 ϵ-근사 대각선 유니터리 2-디자인을 달성한다.
• 랜덤으로 선택된 큐비트 쌍에서 유도되는 랜덤성을 활용하여 근사 품질을 향상시키고, 필요한 게이트 수를 감소시킨다.
• O(N)의 랜덤 고전적 비트를 사용하는 고전적 절차를 적용하여 양자 회로 출력과 조합함으로써 정확한 상태 2-디자인을 생성한다.
• 첫 번째 및 두 번째 모멘트가 하르 측도와 일치함을 확인하여, 최종적으로 생성된 대각선 유니터리 행렬의 집합이 2-디자인을 형성하도록 보장한다.
• 게이트 복잡도와 근사 오차를 분석하여 ϵ-근사 디자인에 필요한 게이트 수를 근사하는 데 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균일하게 분포된 위상을 가진 대각선 유니터리 행렬을 국소적 대각선 및 제어-위상 게이트로 구성된 양자 회로를 통해 효율적으로 생성할 수 있는가?
• RQ2 N-큐비트 시스템에서 정확한 대각선 유니터리 2-디자인을 구성하기 위해 필요한 최소한의 게이트 수는 얼마인가?
• RQ3 제어-위상 회로에서 큐비트 쌍을 랜덤으로 선택하는 것이 게이트 수를 줄이며 ϵ-근사 대각선 유니터리 2-디자인을 달성할 수 있는가?
• RQ4 대각선 유니터리 회로를 사용하여 정확한 랜덤 양자 상태 2-디자인을 생성하기 위해 필요한 고전적 랜덤성의 양은 얼마인가?
• RQ5 대각선 유니터리 t-디자인을 구성할 때 게이트 수와 근사 오차 사이의 상충 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 모든 큐비트 쌍에 대해 랜덤화된 제어-위상 게이트를 적용함으로써 O(N²) 게이트로 정확한 대각선 유니터리 2-디자인을 달성할 수 있다.
• 랜덤으로 선택된 큐비트 쌍에 제어-Z 게이트를 사용하면 최대 O(N²(N + log 1/ϵ))의 게이트로 ϵ-근사 대각선 유니터리 2-디자인을 얻을 수 있다.
• 랜덤 쌍 선택을 통한 추가적인 랜덤성은 전체 얽힘의 부족을 상쇄할 수 있는 충분한 랜덤성을 제공하여 오차가 유한한 범위 내에서 근사가 가능하게 한다.
• 정확한 상태 2-디자인을 생성하기 위한 프로토콜은 양자 회로 출력과 조합할 때 오직 O(N)의 고전적 랜덤 비트만 필요하다.
• 구성 방식은 단지 소수 큐비트 대각선 게이트로만 이루어진 회로로는 대각선 유니터리 2-디자인을 실현할 수 없음을 보여주며, 제어-위상과 같은 얽힘 게이트가 필요함을 시사한다.
• 이론적 프레임워크는 랜덤 위상 값을 가진 대각선 유니터리 행렬의 집합이 특정한 게이트 적용 패턴 하에서 2-디자인을 형성함을 확인한다.