[논문 리뷰] Diamantine Picard functors of rigid spaces

Ben Heuer|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 30.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 38인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $ℚ_p$의 완전oid 체 확장 위의 연결된 미분가능하고 완비된 리지드 공간에 대해 에탈 다이아몬드 피카르 함수가 고전적 리지드 해석적 피카르 함수의 다이아몬드화임을 증명한다. 리지드 피카르 함수의 표류성은 그 다이아몬드화 대응체의 표류성도 암시하며, 승법 Hodge–Tate 수열과 관련된 $v$-피카르 함수를 도입하여 $p$-진 심슨 대응에 대한 새로운 모듈리 이론적 시각을 가능하게 한다.

ABSTRACT

For a connected smooth proper rigid space $X$ over a perfectoid field extension of $\mathbb Q_p$, we show that the étale Picard functor of $X$ defined on perfectoid test objects is the diamondification of the rigid analytic Picard functor. In particular, it is represented by a rigid analytic group variety if and only if the rigid analytic Picard functor is. Second, we study the $v$-Picard functor that parametrises line bundles in the finer $v$-topology on the diamond associated to $X$ and relate this to the rigid analytic Picard functor by a geometrisation of the multiplicative Hodge--Tate sequence. The motivation is an application to the $p$-adic Simpson correspondence, namely our results pave the way towards the first instance of a new moduli theoretic perspective.

연구 동기 및 목표

• 리지드 해석기하학의 피카르 함수 이론을 완전oid 공간과 다이아몬드의 더 큰 범주로 확장하기 위해.
• 에탈 다이아몬드 피카르 함수와 고전적 리지드 해석적 피카르 함수 간의 관계를 명확히 하기 위해.
• 다이아몬드 위에서의 $v$-피카르 함수를 도입하고, 승법 Hodge–Tate 수열을 통해 리지드 해석적 피카르 함수와 연관지기 위해.
• 모듈리 이론적 접근을 통해 $p$-진 심슨 대응에 대한 기초 단계를 마련하기 위해.

제안 방법

• 완전oid 체 위의 미분가능하고 완비된 리지드 공간 $X$의 다이아몬드화 $π^{\diamondsuit}$를 따라 $\mathbb{G}_m$의 $R^1$ 전달을 정의함으로써 에탈 다이아몬드 피카르 함수를 정의한다.
• 표류성 조건 없이도 리지드 해석적 피카르 함수의 다이아몬드화와 에탈 다이아몬드 피카르 함수 사이에 자연스러운 위상동형을 확립한다.
• $v$-선다발의 이sov의류 클래스를 보존하는 함수의 $v$-sheafification으로서 $v$-피카르 함수를 정의하고, 이를 리지드 해석적 피카르 함수와 연관지킨다.
• 승법 Hodge–Tate 수열의 기하화를 통해 $v$-피카르 함수와 에탈 다이아몬드 피카르 함수를 연결한다.
• 아벨로이드 다양체에 대한 대칭 이론을 적용하여 다이아몬드 피카르 함수의 이동 불변 부분이 이중 아벨로이드의 다이아몬드화에 의해 표현됨을 보인다.
• 반바나흐 모듈러 코hom로지와 $\varpi$-완비성 기법을 활용하여 코호몰로지 복합체 내의 토르션 성질을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전oid 체 위의 미분가능하고 완비된 리지드 공간에서, 에탈 다이아몬드 피카르 함수는 고전적 리지드 해석적 피카르 함수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 에탈 다이아몬드 피카르 함수가 다이아몬드에 의해 표류되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 다이아몬드에 관련된 리지드 공간의 선다발에 있어서 $v$-피카르 함수의 역할은 무엇인가?
• RQ4 승법 Hodge–Tate 수열은 기하학적으로 $v$-피카르 함수와 리지드 해석적 피카르 함수를 어떻게 연결하는가?
• RQ5 다이아몬드 피카르 함수는 $p$-진 심슨 대응에 대해 새로운 모듈리 이론적 프레임워크를 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 고전적 리지드 해석적 피카르 함수 $\mathbf{Pic}_{X,\acute{e}t}$가 표류되지 않더라도, 에탈 다이아몬드 피카르 함수 $\mathbf{Pic}^{\diamond}_{X,\acute{e}t}$는 그 다이아몬드화와 자연스럽게 위상동형이다.
• 리지드 해석적 피카르 함수가 리지드 공간에 의해 표류된다면, 그 다이아몬드화는 에탈 다이아몬드 피카르 함수를 표현한다.
• 모든 완전oid 공간 $Y$에 대해 $K$ 위에서, $X \times Y$ 위의 선다발의 이sov의류 클래스 중에서 단면 $x \times Y$를 따라 자명화되는 것들은 $Y \to \mathbf{Pic}_{X,\acute{e}t}$의 사상과 일대일 대응이 된다. 이는 완비성 조건 하에서 성립한다.
• $v$-피카르 함수 $\mathbf{Pic}^{\diamond}_{X,v}$는 승법 Hodge–Tate 수열의 기하화를 통해 리지드 해석적 피카르 함수와 연관된다.
• 아벨로이드 다양체 $A$에 대해, 다이아몬드 피카르 함수의 이동 불변 부분 $\mathbf{Pic}^{\diamond\tau}_{A,\acute{e}t}$는 이중 아벨로이드 $A^\vee$의 다이아몬드화, 즉 $A^{\vee\diamondsuit}$에 의해 표현된다.
• $\varpi$-완비 복합체의 코호몰로지 분석을 통해, $\varpi$를 역으로 곱한 후 코호몰로지의 유한차원성 조건이 만족되면 $H^n(C^\bullet)$의 $\varpi$-토르션은 유계이다. 이는 핵심 표류성 증명에 기여한다.