[논문 리뷰] Diffeologies, Differential Spaces, and Symplectic Geometry

Jordan Watts|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 17.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 미분구조의 일반화인 미분다양체와 미분공간의 교차가 프뢰리처 공간과 동형임을 증명하며, 몫공간과 분할공간에 대한 통합된 미분구조 프레임워크를 제공한다. 이는 컴actsLie군의 기하학적 몫공간에서의 미분다양체 형식이 기본형식과 시아마르의 미분형식과 동형임을 보이며, 오비포르드 형식과 동치임을 증명함으로써, 미분구조가 보존되는 것을 보여준다. 또한, 부드러운 분할공간이 국소적으로 완전한 벡터장 가중치를 가진 부분카르테시안 공간의 전체부분범주임을 증명한다.

ABSTRACT

Diffeological and differential spaces are generalisations of smooth structures on manifolds. We show that the "intersection" of these two categories is isomorphic to Frölicher spaces, another generalisation of smooth structures. We then give examples of such spaces, as well as examples of diffeological and differential spaces that do not fall into this category. We apply the theory of diffeological spaces to differential forms on a geometric quotient of a compact Lie group. We show that the subcomplex of basic forms is isomorphic to the complex of diffeological forms on the geometric quotient. We apply this to symplectic quotients coming from a regular value of the momentum map, and show that diffeological forms on this quotient are isomorphic as a complex to Sjamaar differential forms. We also compare diffeological forms to those on orbifolds, and show that they are isomorphic complexes as well. We apply the theory of differential spaces to subcartesian spaces equipped with families of vector fields. We use this theory to show that smooth stratified spaces form a full subcategory of subcartesian spaces equipped with families of vector fields. We give families of vector fields that induce the orbit-type stratifications induced by a Lie group action, as well as the orbit-type stratifications induced by a Hamiltonian group action.

연구 동기 및 목표

• 미분다양체, 미분공간, 프뢰리처 공간의 일반화된 미분구조를 그 카테고리적 교차를 식별함으로써 통합한다.
• 콤팩트 리군의 기하학적 몫공간에서의 미분다양체 형식이 심플렉틱 축소에서 기본형식과 시아마르의 미분형식과 동형임을 보인다.
• 부드러운 분할공간이 국소적으로 완전한 벡터장 가중치를 가진 부분카르테시안 공간 내에서 전체부분범주임을 보인다.
• 리군 및 해밀토니안 군 작용으로부터 유도된 벡터장 가중치를 구성하여 궤도형태 분할공간을 복원한다.
• 미분다양체 형식과 오비포르드 형식을 비교하여, 이들이 코homology 복합체로서 동형임을 증명한다.

제안 방법

• 열린 부분집합 R^n에서의 매끄러운 플롯(매핑)의 가중치를 통해 미분다양체 공간을 정의하며, 호환성과 국소성을 확보한다.
• 실수값을 가진 매끄러운 함수의 가중치를 통해 미분공간을 정의하며, 제한에 대해 닫혀 있고 셰이프 조건을 만족한다.
• 벡터장 가중치를 가진 부분카르테시안 공간의 범주에서 애틀라스를 가진 매끄러운 다양체의 범주로의 함자를 수립한다.
• 국소적 미분동형사상과 좌표 차트를 사용하여, 부분카르테시안 공간에서의 매끄러운 함수가 R^n의 매끄러운 함수의 역상으로 유도됨을 보인다.
• 주다발에서의 기본형식 이론을 적용하여, 몫공간에서의 미분다양체 형식과 동치임을 증명한다.
• 리만다양체에서의 군 작용으로부터 유도된 부분카르테시안 공간에 벡터장 가중치를 구성하여 궤도형태 분할공간을 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 미분다양체와 미분공간의 카테고리적 교차는 무엇이며, 프뢰리처 공간과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 콤팩트 리군 작용의 기하학적 몫공간에서의 미분다양체 형식은 심플렉틱 축소에서 기본형식과 시아마르의 형식과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 부드러운 분할공간은 국소적으로 완전한 벡터장 가중치를 가진 부분카르테시안 공간으로서 완전히 특징지을 수 있는가?
• RQ4 리군 작용으로부터 유도된 벡터장 가중치는 궤도공간의 궤도형태 분할공간을 재구성하는가?
• RQ5 오비포르드에서의 미분다양체 형식은 표준 오비포르드 de Rham 복합체로서 동형인 코homology 복합체를 생성하는가?

주요 결과

• 미분다양체와 미분공간의 범주적 교차는 프뢰리처 공간의 범주와 동형이다.
• 콤팩트 리군 작용의 기하학적 몫공간에서의 미분다양체 형식은 주다발에서의 기본형식 복합체와 동형이다.
• 모멘트 맵의 정상값에서의 심플렉틱 축소에서, 몫공간에서의 미분다양체 형식은 복합체로서 시아마르의 미분형식과 동형이다.
• 오비포르드에서의 미분다양체 형식은 표준 오비포르드 de Rham 복합체와 동형인 코homology 복합체를 생성한다.
• 부드러운 분할공간은 국소적으로 완전한 벡터장 가중치를 가진 부분카르테시안 공간의 전체부분범주이다.
• 리군 작용으로부터 유도된 벡터장 가중치는 궤도공간의 궤도형태 분할공간을 생성하며, 해밀토니안 군 작용의 경우에도 동일한 결과가 성립한다.