[논문 리뷰] Differentiable Stacks and Gerbes

Kai Behrend, Ping Xu|arXiv (Cornell University)|2006. 05. 27.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 24인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 미분 가능 스택 위의 $S^1$-gerbe와 리 군oids의 $S^1$-중심 확장의 모리타 동치류 사이의 대응을 수립하며, 특성류를 위한 체른-바일 이론을 개발하고 기하학적 및 리 대수기법을 통해 주어진 곡률 유사 데이터를 갖는 $S^1$-중심 확장을 구성한다.

ABSTRACT

We introduce differentiable stacks and explain the relationship with Lie groupoids. Then we study $S^1$-bundles and $S^1$-gerbes over differentiable stacks. In particular, we establish the relationship between $S^1$-gerbes and groupoid $S^1$-central extensions. We define connections and curvings for groupoid $S^1$-central extensions extending the corresponding notions of Brylinski, Hitchin and Murray for $S^1$-gerbes over manifolds. We develop a Chern-Weil theory of characteristic classes in this general setting by presenting a construction of Chern classes and Dixmier-Douady classes in terms of analogues of connections and curvatures. We also describe a prequantization result for both $S^1$-bundles and $S^1$-gerbes extending the well-known result of Weil and Kostant. In particular, we give an explicit construction of $S^1$-central extensions with prescribed curvature-like data.

연구 동기 및 목표

• 미분 가능 스택 위의 $S^1$-gerbe에 대한 기하학적 이론을 개발하여, 다이먼드와 히친의 다각도에 대한 작업을 일반화한다.
• 미분 가능 스택 ${\mathfrak{X}}$ 위의 $S^1$-gerbe와 리 군oids의 $S^1$-중심 확장의 모리타 동치류 사이의 일대일 대응을 수립한다.
• 이 설정으로의 체른-바일 이론을 확장하여 연결과 곡률의 유사체를 사용하여 특성류를 구성한다.
• 주어진 가짜 곡률 데이터를 갖는 $S^1$-중심 확장을 명시적으로 구성한다.
• 클래식한 웨일-코스타ント 전량화 결과를 미분 가능 스택 위의 $S^1$-gerbe로 일반화한다.

제안 방법

• 스택이 리 군oids의 모리타 동치류로 정의되므로, 미분 가능 스택과 리 군oids 사이의 사전을 활용한다.
• 스택 ${\mathfrak{X}}$ 위의 $S^1$-gerbe를 리 군oids의 $S^1$-중심 확장의 모리타 동치류로 정의한다.
• 기저 군oids로부터의 기하 데이터를 중심 확장으로 올리는 방식으로, $S^1$-중심 확장에 대한 연결과 곡률을 정의한다.
• 리 대수기법을 적용하여 $S^1$-중심 확장의 적분 가능성과 곡률 조건을 분석한다.
• 분포 ${\mathcal{D}}_s$와 ${\mathcal{D}}_t$의 벡터장의 흐름을 사용하여 $R_2$ 위에 그래프인 임베딩된 부분다양체 $\widetilde{\Lambda}$를 구성함으로써 확장의 일관성을 확보한다.
• $\widetilde{\Lambda}$에서 $\widetilde{\Theta} = 0$ 조건을 사용하여 확장의 적분 가능성과 곡률 이상의 소멸을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 미분 가능 스택 위의 $S^1$-gerbe는 리 군oids의 구조로 어떻게 기하학적으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 $S^1$-gerbe와 리 군oids의 $S^1$-중심 확장 사이의 정확한 대응은 무엇인가?
• RQ3 미분 가능 스택과 $S^1$-gerbe의 맥락에서 체른-바일 유사 이론을 개발할 수 있는가?
• RQ4 어떤 조건에서 $S^1$-중심 확장을 주어진 곡률 유사 데이터를 갖도록 구성할 수 있는가?
• RQ5 $S^1$-gerbe의 전량화 조건은 고전적 웨일-코스타ント 결과를 스택으로 일반화하는 방식은 어떻게 되는가?

주요 결과

• $H^2({\mathfrak{X}}, S^1)$과 미분 가능 스택 ${\mathfrak{X}}$ 위의 리 군oids의 $S^1$-중심 확장의 모리타 동치류 사이에 자연스러운 전단사 대응이 존재한다.
• 미분 가능 스택 위의 $S^1$-gerbe는 리 군oids의 $S^1$-중심 확장의 모리타 동치류와 일대일 대응된다.
• 분포 ${\mathcal{D}}_s$와 ${\mathcal{D}}_t$의 벡터장의 흐름을 사용하여 $R_2$ 위에 그래프인 임베딩된 부분다양체 $\widetilde{\Lambda}$를 정의함으로써, 주어진 가짜 곡률을 갖는 $S^1$-중심 확장을 구성한다.
• $\widetilde{\Lambda}$에서 $\widetilde{\Theta} = 0$ 조건은 곡률 유사 데이터의 일관성과 적분 가능성을 보장하며, 구성의 타당성을 검증한다.
• 기저 군oids의 리 대수로부터 올린 벡터장의 흐름을 통해 주어진 곡률를 갖는 $S^1$-중심 확장을 구성한다.
• 이 결과는 고전적 웨일-코스타ント 전량화를 $S^1$-gerbe가 있는 스택으로 일반화하며, 중심 확장을 통한 딕스미에르-두아드 클래스의 기하학적 실현을 제공한다.