[논문 리뷰] Diffusion Approximations for Expert Opinions in a Financial Market with Gaussian Drift

Jörn Saß, Dorothee Westphal외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 고정밀도가 감소하는 고주파 전문가 의견을 포함하는 비관측 가우시안 드리프트를 가진 금융 시장에서 필터의 확산 근사법을 개발한다. 적절한 스케일링 하에 이산 전문가 의견이 연속시간 확산 과정으로 수렴함을 증명하여, 점근적 필터링 이론을 통해 부분 정보 하에서 포트폴리오 최적화 문제를 단순화한 해법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper investigates a financial market where returns depend on an unobservable Gaussian drift process. While the observation of returns yields information about the underlying drift, we also incorporate discrete-time expert opinions as an external source of information. For estimating the hidden drift it is crucial to consider the conditional distribution of the drift given the available observations, the so-called filter. For an investor observing both the return process and the discrete-time expert opinions, we investigate in detail the asymptotic behavior of the filter as the frequency of the arrival of expert opinions tends to infinity. In our setting, a higher frequency of expert opinions comes at the cost of accuracy, meaning that as the frequency of expert opinions increases, the variance of expert opinions becomes larger. We consider a model where information dates are deterministic and equidistant and another model where the information dates arrive randomly as the jump times of a Poisson process. In both cases we derive limit theorems stating that the information obtained from observing the discrete-time expert opinions is asymptotically the same as that from observing a certain diffusion process which can be interpreted as a continuous-time expert. We use our limit theorems to derive so-called diffusion approximations of the filter for high-frequency discrete-time expert opinions. These diffusion approximations are extremely helpful for deriving simplified approximate solutions of utility maximization problems.

연구 동기 및 목표

• 자산 수익률이 관측 불가능한 가우시안 드리프트 과정에 의존하는 금융 시장을 모델링하는 것.
• 정밀도가 주파수 증가에 따라 감소하는 이산 시간 전문가 의견을 외부 정보 소스로 통합하는 것.
• 전문가 의견 주파수가 무한대에 가까워질 때 필터의 점근적 행동을 분석하는 것.
• 부분 정보 하에서 유틸리티 최적화 문제를 단순화하는 확산 근사법을 유도하는 것.
• 이산 전문가 정보가 연속시간 확산 과정으로 수렴하는 것을 보여주는 극한 정리 수립

제안 방법

• 가우시안 노이즈가 첨가된 평균 회귀적인 옴스타인-울렌벡 과정으로 은닉 드리프트를 모델링한다.
• 이산 시간에 도착하는 편향이 없고 평균이 0인 가우시안 추정치로서 전문가 의견을 통합한다.
• 의견 빈도가 증가할수록 각 의견의 분산이 주파수와 선형적으로 증가한다고 가정하여 개별 정밀도 감소를 반영한다.
• 두 모델을 분석한다: 결정론적 등간격 정보 도착 시점과 포아송 분포를 따르는 도착 시간.
• 한계 정리 적용을 통해 필터의 조건부 평균과 공분산이 L^p 수렴으로 연속시간 확산 과정의 것과 수렴함을 보인다.
• 확률적 미적분학과 그로워랄의 부등식을 사용하여 적절한 스케일링 하에 필터의 조건부 평균과 공분산의 L^p 수렴을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전문가 의견이 점점 더 높은 주파수로 도착할 때 필터는 점근적으로 어떻게 행동하는가?
• RQ2 전문가 의견이 빈번하지만 정밀도가 낮을 경우 은닉 드리프트의 조건부 평균과 공분산은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 고주파 근사에서 이산 전문가 의견을 연속시간 확산 과정으로 근사할 수 있는가?
• RQ4 전문가 의견의 빈도와 정밀도 간의 상충 관계는 필터의 품질에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 필터가 확산 과정으로 수렴하는 조건는 무엇이며, 수렴 속도는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 전문가 의견 주파수가 무한대에 가까워질수록 필터의 조건부 평균과 공분산 행렬이 연속시간 확산 과정의 것과 L^p 수렴한다.
• 결정론적 및 포아송 분포를 따르는 정보 도착 시점에 대해, 극한에서 한계 과정은 이산 전문가 의견이 담고 있는 정보를 동일하게 반영한다.
• 필터의 조건부 평균과 공분산의 수렴 속도는 O(1/√λ)이며, 여기서 λ는 전문가 의견의 도착률이다.
• 확산 근사법을 통해 부분 정보 하에서 복잡한 유틸리티 최적화 문제에 대한 단순화된 근사 해법을 가능하게 한다.
• 한계 과정은 일정한 속도로 노이즈 있는 정보를 지속적으로 제공하는 연속시간 전문가로 해석할 수 있으며, 수익 과정과 동일한 드리프트를 유지한다.
• 각 전문가 의견의 분산이 주파수와 선형적으로 증가하는 스케일링 하에 결과가 성립하며, 이는 비퇴화적인 점근적 행동을 보장한다.