[논문 리뷰] Dimension of invariant measures for affine iterated function systems

De‐Jun Feng|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 07.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 61인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^d$ 위의 애파인 반복기호계수(IFS)에 대한 모든 에르고딕 불변 측도가 정확한 차원을 갖는다는 것을 증명한다. 즉, 국소 차원이 존재하고 $\mu$-거의 everywhere에서 일정하다. 주요 결과는 평균 수축 조건 하에서 이러한 측도의 하우스도르프 차원에 대해 레드라피에르-양 유형의 공식을 제공하며, 이는 분형기하학에서 오랫동안 미해결된 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Let $\{S_i\}_{i\in Λ}$ be a finite contracting affine iterated function system (IFS) on ${\Bbb R}^d$. Let $(Σ,σ)$ denote the two-sided full shift over the alphabet $Λ$, and $π:Σ o {\Bbb R}^d$ be the coding map associated with the IFS. We prove that the projection of an ergodic $σ$-invariant measure on $Σ$ under $π$ is always exact dimensional, and its Hausdorff dimension satisfies a Ledrappier-Young type formula. Furthermore, the result extends to average contracting affine IFSs. This completes several previous results and answers a folklore open question in the community of fractals. Some applications are given to the dimension of self-affine sets and measures.

연구 동기 및 목표

• 애파인 IFS에 대한 모든 에르고딕 불변 측도가 정확한 차원을 갖는지 여부에 관한 분형기하학에서 오랫동안 미해결된 열린 문제를 해결하기 위해.
• 평균 수축 조건 하에서 불변 측도의 하우스도르프 차원에 대해 레드라피에르-양 유형의 차원 공식을 수립하기 위해.
• 기존의 자기유사 케이스를 초월하여 자가애파인 집합과 측도의 차원 이론을 확장하기 위해.
• 이전 결과를 일반화하여 리아풀로프 지수와 엔트로피를 통해 불변 측도의 차원을 완전히 특성화하기 위해.

제안 방법

• 이중화 공간 $\Sigma = \Lambda^{\mathbb{Z}}$ 위의 불변 측도 $m$ 을 $\pi: \Sigma \to \mathbb{R}^d$ 의 표준 코딩 사상으로 $\mu = \pi_*m$ 에 따라 $\mathbb{R}^d$ 위의 불변 측도로 올리기 위해.
• 푸르스텐베르크-케스텐 정리와 킹먼의 가역부등식 에르고딕 정리에 의해 $m$-거의 모든 $x \in \Sigma$ 에 대해 최상위 리아풀로프 지수 $\lambda(x)$ 가 존재함을 보장하기 위해.
• 평균 수축 IFS의 개념을 활용하여, 엄밀히 음수인 최상위 리아풀로프 지수 $\lambda(x)$ 를 통해 코딩과 측도 전달이 잘 정의됨을 보장하기 위해.
• 정확한 차원 이론과 국소 차원, 엔트로피, 리아풀로프 지수 간의 관계를 이용하여 차원 공식을 유도하기 위해.
• 기하측도론의 결과를 적용하여, 레마 8.3 및 그라스만다인에서의 섬유화된 집합의 차원을 통한 투영의 하우스도르프 차원 추정을 포함하기 위해.
• 엔트로피 $h_m(\sigma)$ 와 리아풀로프 지수 $\lambda_i$ 간의 상대적 관계에 기반한 케이스 분석을 통해, 모순과 그라스만다인 집합의 차원 상한을 통한 증명을 통해 차원 공식을 각 케이스에서 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 애파인 IFS에 대한 모든 에르고딕 불변 측도가 $\mathbb{R}^d$ 에서 정확한 차원을 갖는가?
• RQ2 애파인 IFS 설정에서 불변 측도의 하우스도르프 차원에 대해 레드라피에르-양 유형의 공식을 수립할 수 있는가?
• RQ3 차원 공식이 기저가 되는 이동 평균 측도의 리아풀로프 지수와 메트릭 엔트로피에 의존하는가?
• RQ4 투영 측도의 차원과 그 부분공간으로의 투영에 대한 차원 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 엔트로피, 리아풀로프 지수, 자가애파인 측도의 차원 간의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 평균 수축 애파인 IFS에 대한 모든 에르고딕 불변 측도 $\mu = \pi_*m$ 는 정확한 차원을 가지며, 이는 $\dim_{\rm loc}(\mu,x)$ 가 존재하고 $\mu$-거의 모든 점에서 일정하다는 것을 의미한다.
• 측도 $\mu$ 의 하우스도르프 차원은 레드라피에르-양 유형의 공식을 만족한다: $\dim_{\rm H}\mu = \dim_{\rm LY}(m, {\bf M})$, 여기서 $\dim_{\rm LY}(m, {\bf M})$ 은 엔트로피와 리아풀로프 지수를 통해 정의된 리아풀로프 차원이다.
• 이 결과는 양방향 및 단방향 이동 모두에 대해 성립하며, 더 넓은 범주에 걸친 불변 측도에 대한 차원 공식의 유효성을 확장한다.
• 증명 과정에서 $\dim_{\rm H}\mu = \dim_{\rm LY}(m, {\bf M})$ 이 엔트로피 $h_m(\sigma)$ 를 기반으로 한 케이스 분석을 통해, 그라스만다인 집합의 차원 상한과 모순을 통해 성립함을 보였다.
• 논문은 애파인 IFS 설정에서 불변 측도의 정확한 차원성에 관한 평범한 열린 문제를 완전히 해결하였다.
• 응용으로는 강한 분리 조건 또는 개방 집합 조건이 성립하지 않는 경우에도 자가애파인 집합과 측도의 새로운 차원 추정치를 제공한다.