[논문 리뷰] Dimensions of irreducible modules over W-algebras and Goldie ranks

Ivan Losev|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 05.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 42인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 반단순 리 대수의 보편 포락환에서의 원시 이상수의 골디 랭크를 계산하고, 정수 중심 특성에 대해 유한 W대수 위의 유한차원 기약 모듈의 차원과 그 등식을 증명하며, 일차원 W대수 모듈에 대한 추측을 전제로 한다. 주요 기여는 W대수의 O카테고리에 대해 카즈단-류스트리그 유형의 특성 공식을 제공하는 일반화된 Soergel 함자이다. 이를 통해 명시적인 차원 계산이 가능해지고 Joseph의 1980년대 프로그램이 고전적 유형에서 완성된다.

ABSTRACT

The main goal of this paper is to compute two related numerical invariants of a primitive ideal in the universal enveloping algebra of a semisimple Lie algebra. The first one, very classical, is the Goldie rank of an ideal. The second one is the dimension of an irreducible module corresponding to this ideal over an appropriate finite W-algebra. We concentrate on the integral central character case. We prove, modulo a conjecture, that in this case the two are equal. Also, modulo the same conjecture, we compute certain scale factors introduced by Joseph. Our conjecture asserts that there is a one-dimensional module over the W-algebra with certain additional properties. The conjecture is proved for the classical types. This completes a program of computing Goldie ranks proposed by Joseph in the 80's. We also provide an essentially Kazhdan-Lusztig type formula for computing the characters of the irreducibles in the Brundan-Goodwin-Kleshchev category O for a W-algebra again under the assumption that the central character is integral. The formula is based on a certain functor (a generalized Soegel functor) from an appropriate parabolic category O to the W-algebra category O. We prove a number of properties of this functor including the quotient property and the double centralizer property. We develop several topics related to our generalized Soergel functor. For example, we discuss its analog for the category of Harish-Chandra bimodules. We also discuss generalizations to the case of categories O over Dixmier algebras. The most interesting example of this situation comes from the theory of quantum groups: we prove that an algebra that is basically Luszitg's form of a quantum group at a root of unity is a Dixmier algebra. For this we check that the quantum Frobenius epimorphism splits.

연구 동기 및 목표

• 반단소 리 대수의 보편 포락환에서의 원시 이상수의 정수 중심 특성에 대한 골디 랭크를 계산한다.
• 일차원 W대수 모듈에 대한 추측을 전제로 하여, 골디 랭크와 유한 W대수 위의 유한차원 기약 모듈의 차원 간 등식을 확립한다.
• W대수의 O카테고리에 대해 카즈단-류스트리그 유형의 특성 공식을 제공하는 일반화된 Soergel 함자를 개발한다.
• 정수 중심 특성에 대한 Joseph의 골디 랭크 프로그램을 고전적 유형에서 완성한다.
• Dixmier 대수와 근의 단위에서의 양자군에 대한 프레임워크를 확장하여, 특정 양자군 몫이 Dixmier 대수임을 보인다.

제안 방법

• 논문은 완비화와 쌍대성을 통해 정의된 함자 $\bullet_{\dagger,e}$를 사용하여, 파라불릭 O카테고리에서 W대수의 O카테고리로의 일반화된 Soergel 함자 $\mathbb{V}$를 구성한다.
• 일반화된 Soergel 함자 $\mathbb{V}$가 몫 성질, 이중 중심화 성질, 0-충실성 성질을 만족함을 증명하여, 카테고리의 필수적인 구조적 특성을 유지함을 보장한다.
• 핵심 기술 도구는 W대수와 하리시-찬드라 이중모듈의 완비화를 사용하는 것으로, 함자 $\bullet_{\dagger,e}$는 임bedding $\iota: V \to \tilde{I}_\chi$의 선택에 의해 정의된다.
• 논문은 함자 $\mathbb{V}$가 특정 부분카테고리 사이의 동치를 유도함을 증명하고, 카즈단-류스트리그 유형의 공식을 통해 단순 $\mathcal{W}$-모듈의 특성을 계산할 수 있음을 보여준다.
• 양자 Frobenius 전단사 사상이 분해되고 $\mathcal{A}$가 $\iota(\mathcal{U})$ 위에서 자유임을 보여, 양자군 몫 $\mathcal{A}$가 Dixmier 대수임을 검증한다.
• 주요 결과의 증명은 특정 성질을 가진 일차원 $\mathcal{W}$-모듈이 존재한다는 추측에 의존하며, 이는 고전적 유형에서 확인된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보편 포락환 $\mathcal{U}({\mathfrak{g}})$의 원시 이상수의 골디 랭크는 정수 중심 특성 하에서 해당 유한차원 기약 $\mathcal{W}$-모듈의 차원과 동일한가?
• RQ2 W대수의 O카테고리에 대해 카즈단-류스트리그 유형의 특성 공식을 제공하는 일반화된 Soergel 함자를 구성할 수 있는가?
• RQ3 W대수와 Dixmier 대수의 맥락에서 일반화된 Soergel 함자에 대해 이중 중심화 성질이 성립하는가?
• RQ4 근의 단위에서 Lusztig의 양자군의 약간의 몫인 대수 $\mathcal{A}$는 Dixmier 대수인가?
• RQ5 특정 성질을 가진 일차원 $\mathcal{W}$-모듈의 존재는 골디 랭크와 모듈 차원 간의 등식을 암시하는가?

주요 결과

• 원시 이상수의 골디 랭크는 일차원 $\mathcal{W}$-모듈에 대한 추측을 전제로 하여, 유한 W대수 위의 대응 유한차원 기약 모듈의 차원과 동일하다.
• 이 추측은 모든 고전적 유형에서 증명되었으며, 이러한 경우에 등식이 확인된다.
• 일반화된 Soergel 함자 $\mathbb{V}$는 이중 중심화 성질과 몫 성질을 만족하여, 카테고리 간 잘 정의된 동치를 유도함을 보장한다.
• 브룬단-구드윈-클레슈체프의 O카테고리에서 단순 $\mathcal{W}$-모듈에 대해 카즈단-류스트리그 유형의 특성 공식이 확립되어, 명시적인 차원 계산이 가능해진다.
• 근의 단위에서 Lusztig의 양자군의 몫인 대수 $\mathcal{A}$는 Dixmier 대수임이 입증되었으며, $\mathcal{A}$는 $\iota(\mathcal{U})$ 위에서 자유이고 양자 Frobenius 전단사 사상이 분해됨을 보였다.
• 주요 결과의 증명은 특정 성질을 가진 일차원 $\mathcal{W}$-모듈의 존재에 의존하며, 이는 고전적 유형에서 확인되었고, 정수 중심 특성에 대한 Joseph의 골디 랭크 프로그램을 완성하였다.