[논문 리뷰] Representations of semisimple Lie algebras in prime characteristic and noncommutative Springer resolution

Roman Bezrukavnikov, Ivan Mirković외 1명|Scholarworks (University of Massachusetts Amherst)|2010. 01. 14.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 25인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 비가환적 해소를 통해 보조정리의 기하학적 해소와 유도 동치인 노름부분의 근사적 해소를 구성함으로써, 소수 성질에서 반단순 리 대수의 표현에 대한 루슈티그의 추측을 대부분 증명한다. 프로베누스 순수성과 양의 성질 국소화 및 기하학적 롱글랜드 대칭성과의 호환성을 이용하여 스프링거 섬유의 코herent sheaf의 코herent sheaf의 K-이론에서 정규 기저를 확립하고, 거의 모든 소수에서 표현의 수치적 성질을 제어한다.

ABSTRACT

We prove most of Lusztig's conjectures from the paper "Bases in equivariant K-theory II", including the existence of a canonical basis in the Grothendieck group of a Springer fiber. The conjectures also predict that this basis controls numerics of representations of the Lie algebra of a semi-simple algebraic group over an algebraically closed field of positive characteristic. We check this for almost all characteristics. To this end we construct a non-commutative resolution of the nilpotent cone which is derived equivalent to the Springer resolution. On the one hand, this noncommutative resolution is shown to be compatible with the positive characteristic version of Beilinson-Bernstein localization equivalences. On the other hand, it is compatible with the t-structure arising from the equivalence of Arkhipov-Bezrukavnikov with the derived category of perverse sheaves on the affine flag variety of the Langlands dual group, which was inspired by local geometric Langlands duality. This allows one to apply Frobenius purity theorem to deduce the desired properties of the basis. We expect the noncommutative counterpart of the Springer resolution to be of independent interest from the perspectives of algebraic geometry and geometric Langlands duality.

연구 동기 및 목표

• 반단소 리 대수의 소수 성질에서의 표현에 대해 스프링거 섬유의 코herent sheaf의 코herent sheaf의 K-이론에 정규 기저의 존재를 증명하는 것.
• 이 정규 기저가 대수적으로 닫힌 체에서 양의 성질을 가진 리 대수의 표현의 수치적 불변량을 제어함을 증명하는 것.
• 스프링거 해소와 유도 동치이면서 양의 성질 국소화와 호환되는 노름부분의 비가환적 해소를 구성하는 것.
• 이 비가환적 해소가 양의 성질 국소화 동치와 기하학적 롱글랜드 대칭성에서 유도되는 t-구조와 호환됨을 보이는 것.
• BBD의 프로베누스 순수성 정리에 응용하여 K-이론에서의 정규 기저가 포함에 의해 불변임을 유도하고 성질 $({\boldsymbol{\flat}})$를 만족함을 보이는 것.

제안 방법

• 기저의 기하학적 해소와의 유도 동치를 통해 노름부분의 비가환적 해소를 구성하고, 플래그 다양체의 코 tangent bundle 위의 t-구조를 이용한다.
• 양의 성질에서 형식적 영역의 영점 부분 주변의 코herent sheaf의 유도 범주 위에서 아핀 브레이드 군의 작용을 이용한다.
• $T^*(G/B)$ 위에 이국적 및 브레이드 양성 t-구조를 정의하고, 이들을 $U\frak{g}_\bk$-모듈의 표현론적 t-구조와 연결한다.
• 기저 변화와 DG 스킴 및 컨볼루션 연산과의 호환성을 이용하여 t-구조를 양의 성질에서 영성질로 올리는 것.
• BBD의 프로베누스 순수성 정리를 적용하여 K-이론에서의 정규 기저가 포함에 의해 불변임을 보이고 성질 $({\boldsymbol{\flat}})$를 만족함을 유도한다.
• 등변 국소화와 슬로도우 슬라이스 기법을 이용하여 양의 성질에서의 기약 및 프로젝티브 모듈을 올리고 K-군에서의 일관성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스프링거 섬유의 코herent sheaf의 코herent sheaf의 K-이론이 반단소 리 대수의 소수 성질에서 $U\frak{g}_\bk$의 표현론을 제어하는 정규 기저를 가질 수 있는가?
• RQ2 스프링거 해소와 유도 동치이면서 양의 성질 국소화와 호환되는 노름부분의 비가환적 해소를 구성할 수 있는가?
• RQ3 $T^*(G/B)$ 위의 t-구조, 특히 이국적 및 브레이드 양성 t-구조가 $U\frak{g}_\bk$-모듈의 표현론적 t-구조와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 확장된 중심화자와 롱글랜드 쌍대군에 의해 유도되는 포함에 의해 K-이론의 정규 기저가 얼마나 불변하는가?
• RQ5 스프링거 섬유의 K-이론이 성질 $({\boldsymbol{\flat}})$를 만족시키기 위한 조건은 무엇이며, 이는 루슈티그의 추측을 순수성 진술로 환원하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 논문은 거의 모든 소수 $p > h$에 대해 루슈티그의 추측을 증명한다. 즉, 스프링거 섬유의 K-이론에서 정규 기저의 존재를 보여준다.
• 스프링거 해소와 유도 동치이면서 양의 성질 국소화 함수와 호환되는 노름부분의 비가환적 해소가 구성된다.
• 노름부분의 비가환적 해소는 $T^*(G/B)$ 위의 이국적 t-구조가 비가환 대수 $A$ 위의 모듈에 대한 t-구조와 동치임을 보여주며, 이는 비가환적 스프링거 해소를 제공한다.
• 프로베누스 순수성 정리를 적용하여 정규 기저가 확장된 중심화자와 롱글랜드 쌍대군에 의해 유도되는 포함에 대해 불변임을 보이고, 성질 $({\boldsymbol{\flat}})$를 만족함을 보였다.
• 스프링거 섬유의 K-이론은 성질 $({\boldsymbol{\flat}})$를 만족하며, 이는 루슈티그의 추측을 양의 성질에서의 순수성 진술로 환원한다.
• 소수 $p \gg 0$에 대해 K-이론에서의 정규 기저가 소수의 선택에 관계없이 불변이며, 큰 소수들에 걸쳐 K-군의 구조가 일관됨을 보였다.