[논문 리뷰] Dirac structures of omni-Lie algebroids

Zhuo Chen, Zhangju Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2008. 02. 26.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 6인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 오미니-리 앨지브로이드에서 기약 가능한 딜라크 구조와 $\mathcal{T} = TM \oplus E$에서의 프로젝티브 리 앨지브로이드 사이의 일대일 대응을 수립하며, 이러한 구조들이 감소 이론을 통해 $E$ 위의 리 앨지브로이드 구조를 코딩하고 있음을 보여준다. 또한 딜라크 구조의 노멀라이저는 관련 프로젝티브 리 앨지브로이드의 도약 대칭 대수와 연결되며, 코homology 군 $\mathrm{H}^1(L,\rho_L)$과 $\mathrm{H}^2(L,\rho_L)$는 각각 딜라크 구조의 노멀라이저와 변형 이론과 관련이 있다.

ABSTRACT

Omni-Lie algebroids are generalizations of Alan Weinstein's omni-Lie algebras. A Dirac structure in an omni-Lie algebroid $\dev E\oplus \jet E$ is necessarily a Lie algebroid together with a representation on $E$. We study the geometry underlying these Dirac structures in the light of reduction theory. In particular, we prove that there is a one-to-one correspondence between reducible Dirac structures and projective Lie algebroids in $\huaT=TM\oplus E$; we establish the relation between the normalizer $N_{L}$ of a reducible Dirac structure $L$ and the derivation algebra $\Der(\pomnib (L))$ of the projective Lie algebroid $\pomnib (L)$; we study the cohomology group $\mathrm{H}^\bullet(L,ρ_{L})$ and the relation between $N_{L}$ and $\mathrm{H}^1(L,ρ_{L})$; we describe Lie bialgebroids using the adjoint representation; we study the deformation of a Dirac structure $L$, which is related with $\mathrm{H}^2(L,ρ_{L})$.

연구 동기 및 목표

• 오미니-리 앨지브로이드에서 일반 딜라크 구조의 기하학적 및 대수적 구조를 이해하기 위해.
• 감소 이론을 통해 딜라크 구조가 벡터 번들의 $E$ 위의 리 앨지브로이드 구조를 어떻게 코딩하는지 명확히 하기 위해.
• 기약 가능한 딜라크 구조와 $\mathcal{T} = TM \oplus E$에서의 프로젝티브 리 앨지브로이드 사이의 일대일 대응을 수립하기 위해.
• 기약 가능한 딜라크 구조의 노멀라이저를 관련 프로젝티브 리 앨지브로이드의 도약 대칭 대수와 연결하기 위해.
• 딜라크 구조의 코homology 군 $\mathrm{H}^\bullet(L,\rho_L)$과 그 변형 이론에서의 역할을 연구하기 위해.

제안 방법

• 모든 $E$ 위의 리 앨지브로이드 구조를 코딩하는 일반화된 쿠란트 앨지브로이드로서 오미니-리 앨지브로이드 $\mathfrak{D}E \oplus \mathfrak{J}E$를 도입한다.
• 기약 가능한 딜라크 구조 $L \subset \mathfrak{D}E \oplus \mathfrak{J}E$를 정의하며, 이는 $\mathcal{T} = TM \oplus E$로의 사영 $\mathbf{b}(L)$가 정칙 부분다발이 되는 경우로 정의한다.
• 섹션들의 노멀라이저 $N_L$과 프로젝티브 리 앨지브로이드 $\mathbf{b}(L)$의 도약을 연결하기 위해 낙하 연산자 $X \mapsto X_\bullet$를 사용한다.
• 딜라크 구조 $L$ 위에서의 표현 $\rho_L: L \to \mathfrak{D}E$를 구성함으로써 코homology 군 $\mathrm{H}^\bullet(L, \rho_L)$의 정의를 가능하게 한다.
• $\mathrm{H}^1(L, \rho_L)$과 $\mathrm{H}^2(L, \rho_L)$ 군을 각각 딜라크 구조의 노멀라이저와 변형에 연결한다.
• 변형을 특성화하기 위해 연산자 $T^X$를 사용하며, $T^X = 0$은 적분 가능성의 필수 조건이 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오미니-리 앨지브로이드에서 일반 딜라크 구조의 기하학적 의미는 무엇인가?
• RQ2 기약 가능한 딜라크 구조는 $\mathcal{T} = TM \oplus E$에서의 프로젝티브 리 앨지브로이드와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 기약 가능한 딜라크 구조 $L$의 노멀라이저 $N_L$과 관련 프로젝티브 리 앨지브로이드의 도약 대칭 대수 $\mathrm{Der}(\mathbf{b}(L))$ 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 딜라크 구조의 코homology 군 $\mathrm{H}^\bullet(L, \rho_L)$는 그 노멀라이저와 변형 이론과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 어떤 조건을 만족해야 $X \in \Gamma(\mathcal{E})$의 섹션이 프로젝티브 리 앨지브로이드 $A = \mathbf{b}(L)$의 변형을 유도하는가?

주요 결과

• 기약 가능한 딜라크 구조와 오미니-리 앨지브로이드 $\mathfrak{D}E \oplus \mathfrak{J}E$에서의 프로젝티브 리 앨지브로이드 사이의 일대일 대응은 정리 3.7에서 수립된다.
• $N_{L^A}$에 속하는 모든 $X$에 대해 낙하 연산자 $X_\bullet$는 $\mathrm{Der}(A)$의 원소로 사상되며, 반대로 $\mathrm{Der}(A)$의 모든 도약은 $N_{L^A}$로 올라올 수 있다. 이는 $N_{L^A}$와 $\mathrm{Der}(A)$ 사이의 리 대수의 동형사상이 있음을 보여준다.
• 기약 가능한 딜라크 구조 $L$의 노멀라이저 $N_L$은 $\mathrm{H}^1(L, \rho_L)$와 동형이며, 기하학적 대칭성과 코homological 데이터를 연결한다.
• 프로젝티브 리 앨지브로이드 $A$의 변형은 $\mathrm{H}^2(L, \rho_L)$에 의해 지배되며, 장애는 낙하 연산자를 통해 정의된 텐서 $T^X$에 의해 제어된다.
• 다발 사상 $\Omega: A \wedge A \to A \cap E$는 $T^X$가 식 (30)의 자코비 유사 항등식을 만족할 때에만 $A$의 변형을 생성하며, 이러한 $\Omega$는 식 (29)를 통해 $X \in N_{L^A}$로부터 유도된다.
• 연산자 $X_\bullet$는 $A$ 위에서 니젠하이즈 연산자처럼 작용하며, $X_\bullet$가 다발 사상이 되는 것은 $X \in \Gamma(\mathrm{Hom}(\mathcal{T}, E))$일 때에만 가능하다. 이 경우 $T^X = 0$이면 $X_\bullet$는 니젠하이즈 연산자가 된다.