[논문 리뷰] Direct Sum Theorem for Bounded Round Quantum Communication Complexity

Dave Touchette|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 38인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 완전히 양자적인 정보 비용 및 복잡도 정의를 활용하여 유한 라운드 얽힘 보조 양자 통신 복잡도에 대한 직접 합 정리를 수립한다. 양자 정보 복잡도가 직접 합 성질을 만족함을 증명함으로써, 오차 및 라운드에 의존하는 요소를 제외하고는 양자 프로토콜을 그 정보 비용으로 압축할 수 있으며, 이는 양자 정보 복잡도가 고전적 정보 복잡도의 올바른 양자 일반화임을 검증한다.

ABSTRACT

We prove a direct sum theorem for bounded round entanglement-assisted quantum communication complexity. To do so, we use the fully quantum definition for information cost and complexity that we recently introduced, and use both the fact that information is a lower bound on the communication, and the fact that a direct sum property holds for quantum information complexity. We then give a protocol for compressing a single copy of a protocol down to its quantum information cost, up to terms depending on the number of rounds and the allowed increase in error. Two important tools to derive this protocol are a smooth conditional min-entropy bound for a one-shot quantum state redistribution protocol, and the quantum substate theorem of Jain, Radhakrishnan and Sen (FOCS'02) to transform this bound into a von Neumann conditional entropy bound. This result further establishes the newly introduced notions of quantum information cost and complexity as the correct quantum generalisations of the classical ones in the standard communication complexity setting. Finding such a quantum generalization of information complexity was one of the open problem recently raised by Braverman (STOC'12).

연구 동기 및 목표

• 최근 Braverman (STOC'12)에 의해 제기된, 고전적 정보 복잡도의 양자 일반화를 찾는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 유한 라운드 얽힘 보조 양자 통신 복잡도에 대한 직접 합 정리를 수립하기 위해.
• 양자 정보 복잡도가 통신을 하한으로 제시하고 직접 합 성질을 만족함을 보여주기 위해.
• 오차 및 라운드에 의존하는 항을 고려하여 단일 양자 프로토콜을 그 양자 정보 비용으로 압축하는 프로토콜을 개발하기 위해.
• 최근 도입된 양자 정보 비용 및 복잡도가 표준 통신 복잡도 이론에서 고전적 개념의 올바른 양자 일반화임을 검증하기 위해.

제안 방법

• 양자 통신 환경에 부합하는 완전히 양자적인 정보 비용 및 복잡도 정의를 채택하기 위해.
• 유한 라운드 프로토콜에서 양자 정보 복잡도가 통신 비용을 하한으로 제시한다는 사실을 이용하기 위해.
• 한 번의 양자 상태 재분배에 대한 부드러운 조건부 최소 엔트로피 경계를 적용하여 프로토콜 압축을 분석하기 위해.
• 최소 엔트로피 경계를 바이어너리 엔트로피 경계로 변환하기 위해 양자 하위상태 정리(Jain 등, FOCS'02)를 활용하기 위해.
• 오차 및 라운드 의존성 요소를 고려하여 단일 복사본의 양자 통신 프로토콜을 그 양자 정보 비용으로 압축하는 프로토콜을 구축하기 위해.
• 양자 정보 복잡도의 직접 합 성질을 활용하여 주요 결과를 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 라운드 얽힘 보조 양자 통신에서 양자 정보 복잡도는 직접 합 성질을 만족하는가?
• RQ2 오차 및 라운드 의존성 요소를 고려하여 단일 양자 프로토콜을 그 양자 정보 비용으로 압축할 수 있는가?
• RQ3 완전히 양자적인 정보 비용 및 복잡도 정의는 고전적 정보 복잡도의 타당한 양자 일반화인가?
• RQ4 부드러운 조건부 최소 엔트로피와 양자 하위상태 정리는 양자 프로토콜에서 통신 비용을 하한으로 제시하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 유한 라운드 설정에서 양자 정보 복잡도와 통신 복잡도 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 유한 라운드 얽힘 보조 양자 통신 복잡도에 대해 직접 합 정리가 성립하며, 정보 비용과 통신 비용 사이의 근본적인 연결 고리를 확립한다.
• 양자 정보 복잡도는 유한 라운드 프로토콜에서 통신 비용을 하한으로 제시하며, 이를 통해 고전적 관계를 양자 환경로 일반화한다.
• 오차 및 라운드 의존성 오버헤드를 고려하여 단일 양자 프로토콜을 그 양자 정보 비용으로 압축하는 프로토콜이 구축되었다.
• 한 번의 양자 상태 재분배에 대한 부드러운 조건부 최소 엔트로피 경계는 압축 결과를 가능하게 하는 핵심 기술적 도구이다.
• 양자 하위상태 정리는 최소 엔트로피 경계를 바이어너리 엔트로피 경계로 변환하는 데 사용되어 정보 비용 분석을 촉진한다.
• 결과적으로 새로 도입된 양자 정보 비용 및 복잡도가 표준 통신 복잡도 이론에서 고전적 정보 복잡도의 올바른 양자 일반화임을 검증한다.