[논문 리뷰] Dirichlet problem for supercritical nonlocal operators

Xicheng Zhang, Guohuan Zhao|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 15.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 25인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 유계 $C^2$ 영역에서 초임계(nonlocal) 연산자에 대한 비국소적 디리클레 문제에 대해, 분수 차수 $\alpha \in (0,1)$ 인 경우에 드리프트 항이 지배하는 조건에서 고전적 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 해는 드리프트가 있는 레비 과정의 퇴출 시간을 통해 확률론적 표현을 가지며, 해의 경계 행동은 드리프트의 법선 성분의 부호에 따라 분류된다.

ABSTRACT

Let $D$ be a bounded $C^2$-domain. Consider the following Dirichlet initial-boundary problem of nonlocal operators with a drift: $$ \partial_t u={\mathscr L}^{(α)}_κu+b\cdot abla u+f\ \mathrm{in}\ \mathbb R_+ imes D,\ \ u|_{\mathbb R_+ imes D^c}=0,\ u(0,\cdot)|_{D}=φ, $$ where $α\in(0,2)$ and $\mathscr L^{(α)}_κ$ is an $α$-stable-like nonlocal operator with kernel function $κ(x,z)$ bounded from above and below by positive constants, and $b:\mathbb R^d o\mathbb R^d$ is a bounded $C^β$-function with $α+β>1$, $f: \mathbb R_+ imes D o\mathbb R$ is a $C^γ$-function in $D$ uniformly in $t$ with $γ\in((1-α)\vee 0,β]$, $φ\in C^{α+γ}(D)$. Under some Hölder assumptions on $κ$, we show the existence of a unique classical solution $u\in L^\infty_{loc}(\mathbb R_+; C^{α+γ}_{loc}(D)) imes C(\mathbb R_+; C_b(D))$ to the above problem. Moreover, we establish the following probabilistic representation for $u$ $$ u(t,x)=\mathbb E_x \Big(φ(X_{t}){\bf 1}_{τ_{D}>t}\Big)+\mathbb E_x\left(\int^{t\wedgeτ_{D}}_0f(t-s,X_s){ m d} s ight),\ t\geq 0,\ x\in D, $$ where $((X_t)_{t\geq 0},\mathbb P_x; x\in\mathbb R^d)$ is the Markov process associated with the operator $\mathscr L^{(α)}_κ+b\cdot abla$, and $τ_D$ is the first exit time of $X$ from $D$. In the sub and critical case $α\in[1,2)$, the kernel function $κ$ can be rough in $z$. In the supercritical case $α\in(0,1)$, we classify the boundary points according to the sign of $b(z)\cdot\vec{n}(z)$, where $z\in\partial D$ and $\vec{n}(z)$ is the unit outward normal vector. Finally, we provide an example and simulate it by Monte-Carlo method to show our results.

연구 동기 및 목표

• 유계 $C^2$ 영역에서 분수 차수 $\alpha \in (0,1)$ 인 초임계 비국소 연산자에 대한 디리클레 문제에 대해 고전적 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 드리프트의 법선 성분에 따라 경계점을 분류함으로써 초임계 영역($\alpha \in (0,1)$)에서 해의 경계 행동을 분석한다.
• 드리프트가 있는 레비 과정의 첫 번째 퇴출 시간을 사용하여 해의 확률론적 표현을 유도한다.
• 하향 및 초임계 영역 모두에서 비국소 파라볼릭 방정식에 대해 샤우더 유형 추정을 확장한다.
• 다양한 드리프트 장을 가진 일차원 예제에 대한 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 이론적 결과를 검증한다.

제안 방법

• 비국소 파라볼릭 방정식에 대한 드리프트 항을 고려할 때, 가중 허더 공간에서 샤우더 추정을 사용하여 해의 정칙성을 제어한다.
• 확률론적 표현을 적용: $ u(t,x) = \mathbb{E}_x[\varphi(X_t) \mathbf{1}_{\tau_D > t}] + \mathbb{E}_x[\int_0^{t \wedge \tau_D} f(t-s,X_s) ds] $, 여기서 $X_t$ 는 $\mathscr{L}^{(\alpha)}_{\kappa} + b\cdot\nabla$ 와 관련된 마코프 과정이다.
• 강제항 $f$ 를 근사하기 위해 컷오프 함수를 사용한 매끄러움 기법을 활용하여 허더 노름에서 수렴성을 확보한다.
• 초임계 케이스에서 경계 근처의 해를 제어하기 위해 가중 허더 공간에서 최대원리를 도입한다.
• 분수 라플라스 연산자의 척도 성질을 활용하여 드리프트가 지배하는 초임계 영역의 동기를 제공한다.
• R에서 몬테카를로 시뮬레이션을 수행하여 이론적 결과의 경계 정규성 및 해의 감쇠 성질을 수치적으로 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 차수 $\alpha \in (0,1)$ 인 경우 드리프트 항이 비국소 디리클레 문제의 해의 정칙성과 경계 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 초임계 비국소 디리클레 문제에 대해 드리프트가 있는 해에 대해 확률론적 표현을 엄밀히 확립할 수 있는가?
• RQ3 드리프트 벡터장 $b$ 와 커널 $\kappa$ 에 어떤 조건이 성립하면 고전적 해의 존재성과 유일성이 보장되는가?
• RQ4 경계점에서 $b(z) \cdot \vec{n}(z)$ 의 부호는 해가 경계까지 연속적으로 유지되는 데 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 수치 시뮬레이션은 해의 감쇠 및 경계 행동에 대한 이론적 예측을 어느 정도 확인하는가?

주요 결과

• 커널 $\kappa$, 드리프트 $b$, 강제항 $f$, 초기 조건 $\varphi$ 가 허더 연속성 조건을 만족할 경우, $u \in L^\infty_{\text{loc}}(\mathbb{R}_+; C^{\alpha+\gamma}_{\text{loc}}(D)) \cap C(\mathbb{R}_+; C_b(D))$ 인 유일한 고전적 해가 존재한다.
• 해는 드리프트가 있는 레비 과정의 첫 번째 퇴출 시간 $\tau_D$ 를 포함한 확률론적 표현을 가지며, 확률 과정과 비국소 PDE 간의 연결성을 확인한다.
• 초임계 케이스($\alpha \in (0,1)$)에서, $b(z) \cdot \vec{n}(z) > 0$ 이면 해는 경계에서 연속이며, $b(z) \cdot \vec{n}(z) < 0$ 이면 불연속이다.
• $\alpha \in [1,2)$ 인 경우, 분수 라플라스 연산자의 지배적 성질로 인해 해는 드리프트 방향과 관계없이 경계까지 항상 연속적이다.
• 몬테카를로 방법을 사용한 수치 시뮬레이션은 해가 시간이 지남에 따라 $\Delta^{\alpha/2}$ 의 소산성 성질로 인해 0으로 감쇠하며, 이는 이론적 예측과 일치하는 경계 불연속성을 보여준다.
• 해는 유계이면서 시간에 대해 허더 연속적이며, $C_b(D)$ 에 값을 가지며, 시간 도함수는 가중 허더 노름에서의 샤우더 추정을 통해 제어된다.