[논문 리뷰] Discrete Approximations and Optimal Control of Nonsmooth Perturbed Sweeping Processes

Boris S. Mordukhovich, Dao Nguyen|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 28.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비연속적이고 비볼록적인 역학을 갖는 편미분 스위핑 프로세스에 의해 지배되는 최적 제어 문제에 대한 필수 최적성 조건을 유도하기 위해 이산 근사 방법을 개발한다. 이중 2차 변분 분석과 이산 스킴의 강한 수렴성을 결합함으로써 국소 최소해에 대한 새로운 오일러-라그랑주 및 최대화 유형의 조건을 수립하며, 비연속 역학을 갖는 제어된 이동 로봇 모델을 통해 검증된다.

ABSTRACT

The main goal of this paper is developing the method of discrete approximations to derive necessary optimality conditions for a class of constrained sweeping processes with nonsmooth perturbations. Optimal control problems for sweeping processes have been recently recognized among the most interesting and challenging problems in modern control theory for discontinuous differential inclusions with irregular dynamics and implicit state constrained, while deriving necessary optimality conditions for their local minimizers have been significantly based on the smoothness of controlled dynamic perturbations. To overcome these difficulties, we use the method of discrete approximations and employ advanced tools of second-order variational analysis. This approach allows us to obtain new necessary optimality conditions for nonsmooth and nonconvex discrete-time problems of the sweeping type. Then we employ the obtained conditions and the strong convergence of discrete approximations to establish novel results for original nonsmooth sweeping control problems that include extended Euler-Lagrange and maximization conditions for local minimizers. Finally, we present applications of the obtained results to solving a controlled mobile robot model with a nonsmooth sweeping dynamics that is of some practical interest.

연구 동기 및 목표

• 비연속적이고 비볼록적인 역학을 갖는 비연속적 스위핑 프로세스에 의해 지배되는 최적 제어 문제에 대한 필수 최적성 조건을 도출하는 데 도전한다.
• 기존 방법의 한계를 극복한다. 기존 방법은 편미분의 연속성에 의존하며, 비규칙한 역학과 암묵적 상태 제약 조건 하에서는 실패한다.
• 이산 근사와 2차 변분 분석을 사용하여 비연속적이고 비볼록적인 이산 시간 스위핑 문제에 대한 견고한 프레임워크를 수립한다.
• 이러한 이산 결과를 적절한 가정 하에 이산 스킴의 강한 수렴성을 통해 연속 시간 원래 문제로 확장한다.
• 비연속 스위핑 역학을 갖는 제어된 이동 로봇 모델에 적용하여 이론적 프레임워크를 검증한다.

제안 방법

• 연속 최적 제어 문제를 유한 차원의 비연속 최적화 문제의 수열로 변환하기 위해 이산 근사 방법을 사용한다.
• 일반화 미분과 볼록 다면체의 정규 근사 원소를 포함한 고급 2차 변분 분석 도구를 적용한다.
• 각 $ C^j $ 가 선형 부등식으로 정의된 볼록 다면체 집합 $ C = \bigcap_{j=1}^s C^j $ 를 통해 상태 제약 조건을 점별로 도입한다.
• 확장된 오일러-라그랑주 및 최대화 유형의 조건을 사용하여 이산 문제의 필수 최적성 조건을 도출한다.
• 적절한 가정 하에 이산 해의 강한 수렴성을 확립한다.
• 이산 결과를 기반으로 연속 사례에서 최적성을 검증하기 위해 쌍대 궤도와 경계 조건을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 편미분이 비연속적이고 비볼록일 경우, 비연속적 편미분 스위핑 프로세스에 의해 지배되는 최적 제어 문제에 대해 필수 최적성 조건을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 이산 근사가 원래 연속 스위핑 제어 문제의 해로 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 이산 근사 방법을 2차 변분 분석과 효과적으로 조합하여 암묵적 상태 제약 조건이 있는 비연속적이고 단조로운 역학을 다룰 수 있는가?
• RQ4 유도된 최적성 조건은 리프시츠 미분 포함에 대해 고전적인 최적 제어 이론 결과와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 이러한 조건은 비연속 역학을 갖는 제어 이동 로봇과 같은 실제 시스템을 모델링할 때 어떤 실용적 함의를 갖는가?

주요 결과

• 이산 근사 방법을 통해 2차 변분 분석을 활용하여 비연속적이고 비볼록적인 이산 시간 스위핑 문제에 대해 새로운 필수 최적성 조건을 성공적으로 도출하였다.
• 주어진 가정 하에 이산 해가 연속 해로 강하게 수렴함을 입증하여 근사 접근법의 타당성을 검증하였다.
• 이동 로봇 모델의 경우 최적 제어는 $ (\bar{u}^1, \bar{u}^2) = (3, 1.5) $ 로 구해졌으며, 충돌 시간 $ t_1 \approx 0.38 $ 를 확인하여 이론적 프레임워크를 뒷받침하였다.
• 쌍대 궤도 $ q(t) $ 는 $ (-1, -1, -\sqrt{2}, -\sqrt{2}) $ 로 계산되었고, 비용 상태 $ p(t) $ 는 $ [0.38, 6] $ 에서 일정하게 유지되어 $ t_1 $ 에서 경계에 도달함을 나타내었다.
• 쌍대 변수 $ \gamma([t,6]) \approx (56.92, 56.92, 40.01, 40.01) $ 를 통해 해밀토니안 최대화 조건이 검증되었으며, 최적성 확인되었다.
• 해는 정리 6.1의 모든 필수 조건을 만족하며, 최적 해가 존재하므로 계산된 쌍 $ (\bar{x}(\cdot), \bar{u}(\cdot)) $ 는 최적임이 확인되었다.