[논문 리뷰] Discrete gauge anomalies revisited

Chang-Tse Hsieh|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 08.

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한 줄 요약

이 논문은 Dai-Freed 정리와 함께 3+1차원 페르미온 이론에서 이산 게이지 양자수를 재검토하며, $\pi_5^{\pi}(B\mathbb{Z}_n)$ 및 $(\mathrm{Spin}(4)\times\mathbb{Z}_{2m})/\mathbb{Z}_2$ 대칭군 하에서의 양자수를 계산한다. 비틀림이 없는 ($\mathrm{Spin}(4)\times\mathbb{Z}_n$) 및 비틀림이 있는 ($\mathrm{Spin}^{\mathbb{Z}_{2m}}(4)$) 경우에 대해 모두 양자수 상쇄 조건을 유도하며, 이들이 대칭 확장에 의존하고 전하 정규화 및 스핀 구조에 민감함을 보이며, $\Delta s_3$, $\Delta s_1$ 및 $\Delta\tilde{s}_3$, $\Delta\tilde{s}_1$에 대한 명시적 모듈로 제약 조건이 있음을 밝힌다.

ABSTRACT

We revisit discrete gauge anomalies in chiral fermion theories in $3+1$ dimensions. We focus on the case that the full symmetry group of fermions is $\mathrm{Spin}(4) imes\mathbb{Z}_n$ or $(\mathrm{Spin}(4) imes\mathbb{Z}_{2m})/\mathbb{Z}_{2}$ with $\mathbb{Z}_2$ being the diagonal $\mathbb{Z}_2$ subgroup. The anomalies are determined by the consistency condition --- based on the Dai-Freed theorem --- of formulating a chiral fermion theory on a generic spacetime manifold with a structure associated with either one of the above symmetry groups and are represented by elements of some finite abelian groups. Accordingly, we give a reformulation of the anomaly cancellation conditions, and compare them with the previous result by Ibáñez and Ross. The role of symmetry extensions in discrete symmetry anomalies is clarified in a formal fashion. We also study gapped states of fermion with an anomalous global $\mathbb{Z}_n$ symmetry, and present a model for constructing these states in the framework of weak coupling.

연구 동기 및 목표

• 현대적 위상적 장 이론 도구를 사용하여 3+1차원 페르미온 이론에서 이산 게이지 양자수 상쇄 조건을 재유도하는 것.
• 비틀림이 없는 $\mathrm{Spin}(4)\times\mathbb{Z}_n$와 비틀림이 있는 $(\mathrm{Spin}(4)\times\mathbb{Z}_{2m})/\mathbb{Z}_2$ 간의 차이를 고려할 때 대칭 확장의 역할을 명확히 하는 것.
• 이차형 불변량과 등변적 지수 이론을 통해 이산 게이지 양자수를 저에너지, 순수 군론적 기술로 기술하는 것.
• 유도된 양자수 조건을 Ibáñez와 Ross의 이전 결과와 비교하여, 대칭 확장과 전하 정규화에 의한 차이점을 부각하는 것.
• 유도된 양자수 제약 조건을 사용하여 약한 결합 프레임워크에서 비정상적인 전역 $\mathbb{Z}_n$ 대칭을 가진 격리된 페르미온 상태를 구성하는 것.

제안 방법

• Dai-Freed 정리를 적용하여 일반적인 시공간 다양체 위에서 $\mathrm{Spin}(4)\times\mathbb{Z}_n$ 또는 $\mathrm{Spin}^{\mathbb{Z}_{2m}}(4)$ 구조를 가진 페르미온 이론을 구성함으로써 분할 함수의 일관성을 확보한다.
• 렌즈 공간 번들의 $L(n;1,k_n,1,-1)$에서 $\eta$-인variant를 사용하여 양자수를 계산하며, 공식 $\eta(X,R) = \eta(L(n;1,k_n,1,-1), \sigma_n(X)R)$를 $X \in T_n$에 대해 사용한다.
• 다양체의 생성자에서 표현으로의 사상 $\sigma_n: T_n \to RU_0(\mathbb{Z}_n)$를 정의하며, $n = p^v$에 따라 명시적 값이 달라진다.
• 등위사상 $\sigma_n: S_n \to I_n / (I_n \cap RU_0(\mathbb{Z}_n)^4)$를 사용하여 양자수를 군 $\Gamma^{\mathrm{Spin}}_5(B\mathbb{Z}_n)$와 연결하며, $\eta \in \mathbb{Z}$일 때에만 양자수 상쇄가 성립함을 보장한다.
• 모듈로 제약 조건을 통해 양자수 상쇄 조건을 유도한다: 비틀림이 없는 경우 $ (n^2 + 3n + 2)\Delta s_3 = 0 \mod 6n $, $ 2\Delta s_1 = 0 \mod n $; 비틀림이 있는 경우 $ (2m^2 + m + 1)\Delta\tilde{s}_3 - (m+3)\Delta\tilde{s}_1 = 0 \mod 48m $, $ m\Delta\tilde{s}_3 + \Delta\tilde{s}_1 = 0 \mod 2m $.
• 약한 결합 모델을 사용하여 비정상적인 $\mathbb{Z}_n$ 대칭을 가진 격리된 상태를 구성하며, 이러한 위상이 도출된 양자수 제약 조건에 의해 보호됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3+1차원 페르미온 이론에서의 이산 게이지 양자수는 비틀림이 없는 $\mathrm{Spin}(4)\times\mathbb{Z}_n$와 비틀림이 있는 $\mathrm{Spin}^{\mathbb{Z}_{2m}}(4)$ 간의 대칭군 선택에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ2 이산 $\mathbb{Z}_n$ 게이지 대칭에 대한 정확한 양자수 상쇄 조건은 무엇이며, 연속적인 U(1) 경우와 어떻게 다를까?
• RQ3 대칭 확장—예를 들어 $\mathbb{Z}_n$을 $\mathbb{Z}_{ln}$으로 확장하거나 비틀림이 있는 군과 비틀림이 없는 군 간 전환—은 양자수 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 약한 결합 프레임워크에서 비정상적인 전역 $\mathbb{Z}_n$ 대칭을 가진 격리된 페르미온 위상은 일관되게 구성될 수 있는가? 어떤 제약 조건을 따르는가?
• RQ5 $\eta$-인variant와 등변적 지수 이론은 이러한 양자수를 위상적 프레임워크에서 어떻게 계산하고 분류하는가?

주요 결과

• 비틀림이 없는 대칭군 $\mathrm{Spin}(4)\times\mathbb{Z}_n$의 경우, 양자수 상쇄 조건은 $ (n^2 + 3n + 2)\Delta s_3 = 0 \mod 6n $ 및 $ 2\Delta s_1 = 0 \mod n $이며, 여기서 $\Delta s_3$와 $\Delta s_1$은 $\mathbb{Z}_n$ 전하의 삼차 및 선형 조합이다.
• 비틀림이 있는 군 $\mathrm{Spin}^{\mathbb{Z}_{2m}}(4)$의 경우 조건은 $ (2m^2 + m + 1)\Delta\tilde{s}_3 - (m+3)\Delta\tilde{s}_1 = 0 \mod 48m $ 및 $ m\Delta\tilde{s}_3 + \Delta\tilde{s}_1 = 0 \mod 2m $이며, $\Delta\tilde{s}_3$, $\Delta\tilde{s}_1$은 홀수 $\mathbb{Z}_{2m}$ 전하에 대해 정의된다.
• 양자수 조건은 대칭 확장에 민감하다: $\mathbb{Z}_n$을 $\mathbb{Z}_{ln}$으로 확장하거나 비틀림이 있는 군과 비틀림이 없는 군 간 전환은 모듈로 제약 조건을 변화시키며, 연속적인 U(1) 경우와는 달리 이는 중요하다.
• 렌즈 공간 번들의 $\eta$-인variant 계산은 등위사상 $\sigma_n: S_n \to I_n / (I_n \cap RU_0(\mathbb{Z}_n)^4)$를 통해 완전한 양자수 분류를 제공하며, 위상학적 구조와 양자수 제약 조건을 연결한다.
• 유도된 양자수 조건은 Ibáñez와 Ross의 이전 결과를 일반화하고 명확히 하며, 그들의 연속 대칭 임베딩 기반 접근법이 대칭 확장 의존성으로 인해 전체적인 구조를 놓친다는 것을 보여준다.
• 유도된 양자수 제약 조건을 만족할 경우, 약한 결합 모델을 사용하여 비정상적인 전역 $\mathbb{Z}_n$ 대칭을 가진 격리된 페르미온 상태를 구성할 수 있으며, 이는 유도된 제약 조건의 물리적 중요성을 입증한다.