[논문 리뷰] Discretisation of the Bloch Sphere, Fractal Invariant Sets and Bell's Theorem

T. N. Palmer|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 05.

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한 줄 요약

이 논문은 삼각함수의 수론적 성질을 통해 구축된 이산화된 블로흐 구를 기반으로 하는 유한하고 결정론적인 양자역학 이론을 제안한다. 상태 공간 내의 프랙탈 불변집합 위에 유한한 비트 문자열로 양자 상태를 표현함으로써, 보편성, 불확정성, 양자 얽힘과 같은 핵심 양자 특성을 재현하면서도, 불변집합에 국한되었을 때 통계적 독립성이나 인과성 분해 조건을 위반하지 않고 벨의 부등식을 위반한다. 이는 표준 양자역학의 대안으로 실재론적이고 비국소적이지만 국소적으로 인과적인 이론을 제공한다.

ABSTRACT

An arbitrarily dense discretisation of the Bloch sphere of complex Hilbert states is constructed, where points correspond to bit strings of fixed finite length. Number-theoretic properties of trigonometric functions (not part of the quantum-theoretic canon) are used to show that this constructive discretised representation incorporates many of the defining characteristics of quantum systems: completementarity, uncertainty relationships and (with a simple Cartesian product of discretised spheres) entanglement. Unlike Meyer's earlier discretisation of the Bloch Sphere, there are no orthonormal triples, hence the Kocken-Specker theorem is not nullified. A physical interpretation of points on the discretised Bloch sphere is given in terms of ensembles of trajectories on a dynamically invariant fractal set in state space, where states of physical reality correspond to points on the invariant set. This deterministic construction provides a new way to understand the violation of the Bell inequality without violating statistical independence or factorisation, where these conditions are defined solely from states on the invariant set. In this finite representation there is an upper limit to the number of qubits that can be entangled, a property with potential experimental consequences.

연구 동기 및 목표

• 연속 힐버트 공간을 포함하지 않으면서도 핵심 양자 특성을 유지하는 유한하고 결정론적인 양자이론 대체 이론을 개발하기 위해.
• 양자역학의 기초 문제—특히 비국소성과 맥락성—을 재해석함으로써 양자 상태를 동적 불변 프랙탈 집합 위의 점으로 보는 것으로 해결하기 위해.
• 불변집합에 국한되었을 때 통계적 독립성이나 인과성 분해 조건을 위반하지 않고도 벨의 부등식을 위반할 수 있음을 보여주기 위해.
• 양자 상태를 프랙탈 기하학 위의 궤적 집합으로 해석함으로써, 양자 현상에 대한 실재론적 설명을 제공하기 위해.

제안 방법

• 고정 길이의 비트 문자열을 사용하여 블로흐 구의 유한하고 임의로 조밀한 이산화를 구축함으로써, 각 점이 각도의 유한한 이진 표현에 대응하도록 한다.
• 삼각함수의 수론적 성질(예: 니븐의 정리)을 활용하여, 한 상태(예: 선형 편광)가 표현 가능할 경우 그 이중 상태(예: 원형 편광)는 표현 불가능하도록 보장함으로써 보편성을 강제한다.
• 우주론적 상태 공간 내에서 동적 궤적의 집적자로 작용하는 프랙탈 불변집합 $I_U$를 정의함으로써, 현실의 물리적 상태가 존재하는 공간을 설정한다.
• $I_U$ 위의 궤적 집합으로 양자 초입자를 표현하며, 양자 진폭은 이러한 궤적의 기하학적 측도에서 유래한다.
• 이산화된 블로흐 구의 카르테시안 곱을 통해 다중 큐비트로 일반화함으로써, 연속 스펙트럼을 피하면서도 유한한 구조를 유지한다.
• 통계적 독립성과 인과성 분해 조건을 불변집합 $I_U$ 위의 상태로 국한함으로써 벨의 정리를 재해석하고, 이 유한한 프레임워크 내에서도 벨 부등식 위반 가능성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속 복소 힐버트 공간에 의존하지 않고도, 보편성, 불확정성, 얽힘과 같은 양자역학의 핵심 특성을 재현할 수 있는 유한하고 결정론적인 이론이 존재할 수 있는가?
• RQ2 유한하고 실재론적인 이론에서 국소적 인과성과 통계적 독립성과 충돌하지 않으면서도, 벨의 부등식 위반을 어떻게 설명할 수 있는가?
• RQ3 삼각함수의 수론적 성질이 상태 표현에 양자 유사 제약 조건을 강제하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 상태 공간 내의 프랙탈 불변집합이 양자 상태의 물리적 기초가 될 수 있으며, 궤적이 양자 진폭을 코딩하는 데 기여하는가?
• RQ5 최대로 얽힌 큐비트의 수에 상한이 존재하는 유한한 이론의 실험적 결과는 무엇인가?

주요 결과

• 이산화된 블로흐 구 구축은 선형 편광에 해당하는 상태가 유한한 비트로 표현 가능할 경우, 원형 편광에 해당하는 상태는 표현 불가능함을 보장함으로써 수론적 방법으로 보편성을 강제한다.
• 모델은 정규직교 삼중체 상태를 포함하지 않기 때문에 코헨-스피커 정리는 무효화되지 않으며, 맥락성이 유지된다.
• 얽힘은 연속 스펙트럼이 필요 없이 이산화된 블로흐 구의 카르테시안 곱을 통해 자연스럽게 유도된다.
• 모델은 양자 이론과 일치하는 바에 따라 벨 부등식을 위반하지만, 불변집합 $I_U$ 위의 상태에 국한되었을 때 통계적 독립성이나 인과성 분해 조건을 위반하지 않는다.
• 최대로 얽힌 큐비트의 수는 유한한 수 $\log_2 N$로 제한되며, 이는 얽힘 깊이에 대한 잠재적 실험적 상한을 의미한다.
• 모델은 중력이 본질적으로 디코herence될 수 있으며, $I_U$의 프랙탈 기하학이 중력 효과의 기초가 될 수 있음을 시사하며, 이는 중력과 얽힘 증거 간의 불일치 가능성을 암시한다.