[논문 리뷰] Distribution of reducible polynomials with a given coefficient set

Shane Chern|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 24.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한한 정수 집합 𝒮에서 추출된 정수 계수를 가진 일변수 다항식의 기약 다항식 수에 대한 명시적 상계를, 모듈로 감소와 약수 함수 추정을 이용하여 도출한다. 주요 결과는 |ℛₙ*⁽𝒮⁾| ≤ 4(n−1)Mⁿ⁻²(∑ₐ∈𝒮* d(a))²로 표현되며, 여기서 M는 계수의 모듈로 M에서의 서로 다른 잔여류를 보장하는 정수이며, 이는 {0,±1} 계수를 가진 랜덤 이변수 다항식이 기약임의 확률이 차수 증가에 따라 0으로 수렴함을 증명하는 데 응용된다.

ABSTRACT

For a given set of integers $\mathcal{S}$, let $\mathcal{R}_n^*(\mathcal{S})$ denote the set of reducible polynomials $f(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0$ over $\mathbb{Z}[X]$ with $a_i\in\mathcal{S}$ and $a_0a_n e 0$. In this note, we shall give an explicit bound of $|\mathcal{R}_n^*(\mathcal{S})|$. We also present an application of this bound to reducible bivariate polynomials over $\mathbb{Z}[X,Y]$.

연구 동기 및 목표

• 고정된 유한한 정수 집합 𝒮에 속한 계수를 가진 일변수 기약 다항식의 수에 대한 명시적 상계를 도출하는 것.
• Bary-Soroker와 Kozma의 ±1 계수 다항식 결과를 일반화하기 위해 모듈로 감소 방법을 임의의 유한 계수 집합으로 확장하는 것.
• 상계를 이용하여 {0,±1} 계수를 가진 이변수 다항식의 기약성 확률이 차수 증가에 따라 0으로 수렴함을 증명하는 것.
• Euler의 항등식과 계수 수세기 기법을 활용하여 이러한 이변수 다항식의 기약성 확률이 점점 사라짐을 보이는 것.

제안 방법

• 모듈로 M에 대한 감소를 사용하여, 𝒮의 모든 원소가 M에 대해 서로 다른 잔여류를 가지는 정수 M을 선택하여 다항식을 ℤ/Mℤ[X]로 단사적으로 사상하는 것.
• 고정된 상수항과 최고차항 계수를 가진 쌍 (p̄, q̄)의 리프트 수를 세어 인수분해 수를 상계하는 것.
• 감소 사상의 단사성을 이용하여, 각 쌍 (p̄, q̄)이 ℛₙ*⁽𝒮⁾에 대해 최대 하나의 다항식으로 리프트됨을 보이는 것.
• 약수 함수 d(a)를 활용하여 상수항 a₀와 최고차항 aₙ의 가능한 인수분해 수를 세는 것.
• Euler의 항등식 ∏ₙ₌₀ᴺ⁻¹(x⁻³ⁿ + 1 + x³ⁿ) = ∑ₙ₌₋(³ᴺ⁻¹)/²^(³ᴺ⁻¹)/² xⁿ 을 사용하여, Y=3을 대입하면 유계 높이를 가진 모든 정수 다항식을 얻을 수 있음을 보이는 것.
• 상계를 점점 더 정확한 추정 ∑ₙ≤x d(n) ∼ x log x 와 결합하여, 기약성 확률이 n⁻³/3ⁿ 의 속도로 감소함을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 유한 집합 𝒮에 속한 계수를 가진 일변수 다항식 중에서 상수항과 최고차항이 0이 아닌 기약 다항식의 최대 수는 얼마인가요?
• RQ2 모듈로 감소 기법을 어떻게 일반적인 유한 계수 집합으로 확장하여 기약 다항식의 수를 상계할 수 있나요?
• RQ3 {0,±1} 계수를 가진 이변수 다항식에서 기약성 확률이 차수 증가에 따라 0으로 수렴하는가요?
• RQ4 Euler의 항등식을 사용하여 계수 집합과 정수 다항식의 조밀도를 연결하고, 기약성 상계에 기여할 수 있는가요?

주요 결과

• 명시적 상계가 확립됨: |ℛₙ*⁽𝒮⁾| ≤ 4(n−1)Mⁿ⁻²(∑ₐ∈𝒮* d(a))², 여기서 M는 𝒮의 모든 원소가 모듈로 M에서 서로 다른 잔여류를 가지는 정수이다.
• 이 상계는 0을 제외한 임의의 유한 집합 𝒮 ⊂ ℤ에 대해 유효하며, M는 max𝒮 − min𝒮 + 1 또는 잔여류가 더 작은 M에서 서로 다를 경우 그보다 작게 선택할 수 있다.
• {0,±1} 계수를 가진 이변수 다항식 F(X,Y)에 대해, F(X,3)가 기약임의 확률은 n → ∞ 일 때 O(n³/3ⁿ) 속도로 감소한다.
• F(X,Y) = f(X)g(Y) 형태의 인수분해로 인한 기약성 확률은 O(3⁻ⁿ²)로 감소하며, 이는 주요 항에 비해 무시할 수 있다.
• 세 가지 메커니즘(1) F(X,3) 기약, (2) F(3,Y) 기약, (3) F(X,Y) = f(X)g(Y) 인수분해)에 의한 기약성의 총합 확률은 n → ∞ 일 때 0으로 수렴한다.
• 따라서 {0,±1} 계수를 가진 이변수 다항식에 대해 limₙ→∞ ℙ(F 기약) = 0 이며, 이는 Bary-Soroker와 Kozma의 결과를 더 넓은 계수 집합으로 일반화한 것이다.