[논문 리뷰] Distributionally Robust Bottleneck Combinatorial Problems: Uncertainty Quantification and Robust Decision Making

Weijun Xie, Jie Zhang외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 02.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 47인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 워샤프스키 애매함 집합을 사용하여 확률적 버블넥 최적화의 불확실성을 다루기 위해 분포로 저항력 있는 브로큰 커브 복합 문제(DRBCP)를 제안한다. 불확실성 정량화(DRBCP-U)와 의사결정(DRBCP-D)을 위한 등가의 혼합정수계획형 재구성식을 개발하며, 워샤프스키 반경을 $ O(N^{-1/2}) $ 수준으로 설정할 수 있음을 보여주어 최소한의 보수성으로 강건성을 향상시킨다. 이 방법은 $ \text{DR} \text{-} \text{BCP-} \text{D} $ 및 $ \text{DR} \text{-} \text{BCP-} \text{D} $로 확장되며, 의사결정 강건 모델은 혼합정수 2차원원형 프로그램(MISOCP)으로 제시된다.

ABSTRACT

This paper studies data-driven distributionally robust bottleneck combinatorial problems (DRBCP) with stochastic costs, where the probability distribution of the cost vector is contained in a ball of distributions centered at the empirical distribution specified by the Wasserstein distance. We study two distinct versions of DRBCP from different applications: (i) Motivated by the multi-hop wireless network application, we first study the uncertainty quantification of DRBCP (denoted by DRBCP-U), where decision-makers would like to have an accurate estimation of the worst-case value of DRBCP. The difficulty of DRBCP-U is to handle its max-min-max form. Fortunately, the alternative forms of the bottleneck combinatorial problems from their blockers allow us to derive equivalent deterministic reformulations, which can be computed via mixed-integer programs. In addition, by drawing the connection between DRBCP-U and its sampling average approximation counterpart under empirical distribution, we show that the Wasserstein radius can be chosen in the order of negative square root of sample size, improving the existing known results; and (ii) Next, motivated by the ride-sharing application, decision-makers choose the best service-and-passenger matching that minimizes the unfairness. This gives rise to the decision-making DRBCP (denoted by DRBCP-D). For DRBCP-D, we show that its optimal solution is also optimal to its sampling average approximation counterpart, and the Wasserstein radius can be chosen in a similar order as DRBCP-U. When the sample size is small, we propose to use the optimal value of DRBCP-D to construct an indifferent solution space and propose an alternative decision-robust model, which finds the best indifferent solution to minimize the empirical variance. We further show that the decision robust model can be recast as a mixed-integer program.

연구 동기 및 목표

• 분포 불확실성 하에서 브로큰 커브 복합 문제를 위한 데이터 기반 강건 최적화 프레임워크를 개발한다.
• 멀티호프 무선 네트워크와 같은 응용 분야에서 확률적 링크 비용이 존재할 때의 정확한 최악의 경우 값 추정(_DRBCP-U_)을 제공한다.
• 라이드셰어링 및 기부 장기 기부와 같은 분야에서 공정한 의사결정(DRBCP-D)을 지원하기 위해 최악의 경우 브로큰 커브 비용을 최소화한다.
• 강건성과 보수성 간의 균형을 이루는 워샤프스키 반경에 대한 이론적 보장을 수립한다.
• $ \text{DR} \text{-} \text{BCP-} \text{D} $로 프레임워크를 확장하여, $ \theta $개의 가장 큰 비용의 합을 최소화하는 것을 목표로 한다.

제안 방법

• 실험 분포 중심의 워샤프스키 애매함 집합을 사용하여 확률적 브로큰 커브 문제의 분포 불확실성을 모델링한다.
• 클러터 및 차단 시스템 이중성 이론을 활용하여 DRBCP-U 및 DRBCP-D에 대한 등가의 결정론적 재구성식을 유도함으로써 혼합정수계획형으로 해결 가능하게 한다.
• DRBCP와 그 표본 평균 근사(SAA) 대응체 간의 연결 고리를 설정하여 $ O(N^{-1/2}) $ 워샤프스키 반경의 타당성을 정당화한다.
• 작은 표본에서 신뢰할 수 없는 SAA 해를 고려하여, SAA 해로 정의된 무차별 해 공간에서의 경험적 분산을 최소화하는 의사결정 강건 모델을 제안한다.
• 에피그래프 및 빅-M 재구성식을 사용하여 의사결정 강건 모델을 혼합정수 2차원원형 프로그램(MISOCP)으로 재구성한다.
• 표본 수가 적은 경우, $ \text{DR} \text{-} \text{BCP-} \text{D} $에 적용하여 최악의 경우 $ \theta $개의 가장 큰 비용의 합을 최소화하는 문제를 해결하며, 유사한 재구성식 접근법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분포 애매함 하에서 확률적 브로큰 커브 복합 문제의 최악의 경우 값은 어떻게 신뢰성 있게 정량화할 수 있는가?
• RQ2 진짜 비용 분포가 애매할 때 최악의 경우 브로큰 커브 비용을 최소화하는 최적의 의사결정은 무엇인가?
• RQ3 통계적 신뢰도를 확보하면서도 보수적으로 워샤프스키 반경을 선택할 수 있는가?
• RQ4 SAA 해가 신뢰할 수 없는 작은 표본 환경에서 강건성이 유지될 수 있는가?
• RQ5 최대값이 아닌 $ \theta $개의 가장 큰 비용의 합을 최소화하는 문제로 프레임워크를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 클러터 및 차단 시스템의 이중성 이론을 활용하여 DRBCP-U 및 DRBCP-D는 등가의 혼합정수계획형(MIP) 재구성식을 갖는다.
• 워샤프스키 반경은 $ O(N^{-1/2}) $ 수준으로 설정할 수 있으며, 이는 이전 결과보다 보수성이 낮고 통계적 신뢰도를 보장한다.
• 같은 반경 하에서 DRBCP-D의 최적 해는 그 표본 평균 근사(SAA) 대응체의 최적 해이기도 하다.
• 작은 표본에서는 제안된 의사결정 강건 모델이 SAA 해로 정의된 무차별 해 공간에서 경험적 분산을 최소화하며, 혼합정수 2차원원형 프로그램(MISOCP)으로 재구성된다.
• $ \text{DR} \text{-} \text{BCP-} \text{D} $에 대한 의사결정 강건 모델은 서브가우시안 비용 가정 하에 분포 이동에 대해 높은 확률로 강건한 해를 보장한다.
• 이론적 신뢰 구간은 선택된 반경 하에 진짜 최악의 경우 값이 DRBCP-D 해로부터 $ 2\theta $ 이내에 있을 확률이 높음을 보여준다.