[논문 리뷰] Distributionally Robust Chance-Constrained Programmings for Non-Linear Uncertainties with Wasserstein Distance

Yining Gu, Yanjun Wang|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 08.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 워샤프스키 오차 집합을 사용한 볼록 비선형 불확실성을 가진 분포로 부터의 강건성 확률 제약 프로그램(DRCCPs)에 대한 정확한 재구성과 결정론적 근사법을 제안한다. 이중볼록 리라크스레이션과 변수 변환을 활용하여, 특정 조건(예: 이진결정변수와 선형 제약조건)에서 정확해지는 처리 가능한 볼록 재구성으로 이어지며, 볼록 최적화를 통한 효율적 해법이 가능해진다.

ABSTRACT

In this paper, we develop an exact reformulation and a deterministic approximation for distributionally robust chance-constrained programmings (DRCCPs) with convex non-linear uncertain constraints under data-driven Wasserstein ambiguity sets. It is known that robust chance constraints can be conservatively approximated by worst-case conditional value-at-risk (CVaR) constraints. It is shown that this approximation can be reformulated as an optimization problem involving biconvex constraints for joint DRCCP. We also demonstrate that this approximation amounts to a convex programming by constructing new decision variables, which allows us to eliminate biconvex terms. Meanwhile, we present how to transform many kinds of non-linear uncertain constraints into cone inequalities. Besides, it turns out that this approximation becomes essentially exact under certain conditions for joint DRCCP. Specifically, when the decision variables are binary and the uncertain constraints are linear, then this approximation is equivalent to a tractable mixed-integer convex reformulation. Numerical results illustrate that the proposed formulations can be solved efficiently.

연구 동기 및 목표

• 데이터 기반 워샤프스키 오차 집합 하에서 볼록 비선형 불확실성 제약 조건을 가진 분포로 부터의 강건성 확률 제약 프로그램(DRCCPs)을 해결하는 데 도전하는 것.
• 본질적으로 비볼록인 이중볼록 재구성법을 처리 가능한 볼록 프로그램으로 변환하는 결정론적 근사법을 개발하는 것.
• 새로운 결정변수 구성법을 통해 이중볼록 항목을 제거함으로써 공동 DRCCPs의 효율적 해법을 가능하게 하는 것.
• 다양한 비선형 불확실 제약 조건을 콘형 부등식으로 변환하는 체계적인 방법을 제공하는 것.
• 제안된 근사법이 원래 문제와 정확히 동일하게 되는 조건를 규명하는 것.

제안 방법

• 최악의 조건부가치위험(CVaR) 제약 조건을 활용하여 공동 DRCCPs의 이중볼록 재구성법을 제안하며, 이를 보수적인 근사로 활용한다.
• 이중볼록 항목을 제거하기 위해 새로운 결정변수를 도입하여 문제를 볼록 프로그래밍 재구성으로 전환한다.
• 워샤프스키 거리를 사용하여 오차 집합을 정의함으로써 비선형 제약 조건에 대한 데이터 기반 분포로 부터의 강건성을 가능하게 한다.
• 비선형 불확실 제약 조건을 두 번째 순서 콘형 또는 두 번째 순서 콘형으로 표현 가능한 부등식으로 변환하여 처리 가능성을 확보한다.
• 결정변수가 이진이고 제약 조건이 선형인 경우 혼합정수볼록 재구성법을 적용하여 정확성을 보장한다.
• 표준 볼록 최적화 솔버를 사용한 수치 실험을 통해 접근법의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 불확실성을 가진 분포로 부터의 강건성 확률 제약 프로그램의 보수적 근사법이 처리 가능한 볼록 최적화 문제로 변환될 수 있는가?
• RQ2 제안된 근사법이 원래 DRCCP 재구성법과 정확히 동일하게 되는 조건는 무엇인가?
• RQ3 비선형 불확실 제약 조건을 체계적으로 콘형 부등식으로 변환하는 방법은 무엇인가?
• RQ4 워샤프스키 거리는 비선형 제약 조건에 대해 데이터 기반 오차 집합을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 공동 확률 제약 조건에서 발생하는 이중볼록 구조는 변수 변환을 통해 제거될 수 있는가? 이를 통해 볼록 재구성법을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 새로운 결정변수의 도입을 통해 공동 DRCCPs의 이중볼록 재구성법을 볼록 프로그램으로 변환하여 효율적 해법이 가능하게 한다.
• 결정변수가 이진이고 불확실 제약 조건이 선형인 경우, 근사법은 원래 문제와 정확히 동일하게 되며, 처리 가능한 혼합정수볼록 프로그램을 제공한다.
• 이 방법은 다양한 종류의 비선형 불확실 제약 조건을 콘형 부등식으로 성공적으로 변환하여 계산 처리 가능성을 향상시킨다.
• 수치 결과는 제안된 재구성법이 표준 볼록 최적화 솔버를 통해 효율적으로 해석 가능하다는 것을 확인한다.
• 워샤프스키 오차 집합의 사용은 비선형 제약 조건에 대해 데이터 기반 강건성을 유지하면서도 구조적 처리 가능성을 확보한다.