[논문 리뷰] Strong Formulations for Distributionally Robust Chance-Constrained Programs with Left-Hand Side Uncertainty under Wasserstein Ambiguity

Nam Ho-Nguyen, Fatma Kılınç-Karzan외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 14.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 33인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 워샤프스키 애매성 하에서 왼쪽 항 불확실성을 가진 분포로 불확실성에 강건한 확률 제약 프로그래밍(DR-CCP)에 대해 강력한 정수형 프로그래밍 설정을 제안한다. 명시적 확률 제약 프로그래밍과의 연결성을 활용하고, 분위수 기반 강화 절차를 도입함으로써 기존의 선형 수준의 타당한 부등식과 효율적인 분리 기법을 도출하여, big-M 계수를 크게 감소시키고 확장성을 향상시켰다. 이는 이전 방법이 실패하는 대규모 사례의 정확한 해를 도출할 수 있도록 했다.

ABSTRACT

Distributionally robust chance-constrained programs (DR-CCP) over Wasserstein ambiguity sets exhibit attractive out-of-sample performance and admit big-$M$-based mixed-integer programming (MIP) reformulations with conic constraints. However, the resulting formulations often suffer from scalability issues as sample size increases. To address this shortcoming, we derive stronger formulations that scale well with respect to the sample size. Our focus is on ambiguity sets under the so-called left-hand side (LHS) uncertainty, where the uncertain parameters affect the coefficients of the decision variables in the linear inequalities defining the safety sets. The interaction between the uncertain parameters and the variable coefficients in the safety set definition causes challenges in strengthening the original big-$M$ formulations. By exploiting the connection between nominal chance-constrained programs and DR-CCP, we obtain strong formulations with significant enhancements. In particular, through this connection, we derive a linear number of valid inequalities, which can be immediately added to the formulations to obtain improved formulations in the original space of variables. In addition, we suggest a quantile-based strengthening procedure that allows us to reduce the big-$M$ coefficients drastically. Furthermore, based on this procedure, we propose an exponential class of inequalities that can be separated efficiently within a branch-and-cut framework. The quantile-based strengthening procedure can be expensive. Therefore, for the special case of covering and packing type problems, we identify an efficient scheme to carry out this procedure. We demonstrate the computational efficacy of our proposed formulations on two classes of problems, namely stochastic portfolio optimization and resource planning.

연구 동기 및 목표

• 워샤프스키 애매성 하에서 왼쪽 항 불확실성을 가진 분포로 불확실성에 강건한 확률 제약 프로그래밍(DR-CCP)의 big-M 설정의 확장성 한계를 해결한다.
• 표본 크기가 증가함에 따라 계산적으로 비가능해지는 기존 big-M 설정의 취약점을 극복한다.
• 표본 크기 증가와 함께 효율적으로 확장되면서도 강력한 이론적 보장을 유지하는 강력한 설정을 개발한다.
• 향상된 MIP 설정과 컷 분리 절차를 통해 대규모 DR-CCP 사례의 정확한 해를 도출할 수 있도록 한다.
• 분포 불확실성 하에서 포트폴리오 최적화 및 자원 계획 문제를 해결하기 위한 실용적 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 명시적 확률 제약 프로그래밍과 DR-CCP 사이의 연결성을 유도하여 원래 변수 공간에서 선형 수준의 타당한 부등식을 생성한다.
• MIP 설정 내 big-M 계수를 극적으로 감소시키기 위해 분위수 기반 강화 절차를 제안한다.
• 분위수 기반 절차에서 유도된 지수 수준의 타당한 부등식 클래스를 도입하고, 분할-결합 프레임워크를 통해 효율적으로 분리한다.
• 커버링 및 패킹 문제에 특화된 효율적인 절차를 설계하여 분위수 기반 강화 절차의 속도를 향상시킨다.
• 유도된 부등식을 동적으로 분리하여 MIP 리 릿지션을 강화하는 분할-결합 알고리즘을 구현한다.
• 워샤프스키 애매성 하에서 최악의 확률을 이중 표현을 통해 활용하여 강력한 경계를 갖는 결정론적 MIP 재구성 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 증가하는 표본 크기와 함께 잘 확장되는 워샤프스키 애매성 하에서 왼쪽 항 불확실성을 가진 DR-CCP에 대해 강력한 설정을 유도할 수 있는가?
• RQ2 기존 MIP 설정 내 big-M 계수를 어떻게 크게 감소시켜 계산 성능을 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 명시적 문제 구조에서 유도된 선형 수준의 타당한 부등식 추가가 설정 강도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 big-M 값은 효율적으로 감소시키면서도 타당성 유지가 가능한 분위수 기반 강화 절차를 설계할 수 있는가?
• RQ5 지수 수준의 부등식 분리가 해 품질 향상과 수렴 속도 향상에 얼마나 효과적인가?

주요 결과

• 제안된 개선 설정은 N=100 및 θ=0.009일 때 10개의 모든 사례를 최적해로 해결하지만, 기본 설정은 시간 제한 내에 어떤 사례도 해결하지 못한다.
• N=300 및 θ=0.009일 때, 기본 설정은 최적해 갭이 최대 97.08%까지 발생하지만, 개선 설정은 0% 최적해 갭을 달성한다.
• 혼합형(Mixing)은 혼합 부등식을 분리함으로써 N=300, θ=0.0001일 때 최적해 갭을 7.68%에서 7.55%로 감소시키고, θ=0.001일 때는 13.22%에서 11.88%로 감소시킨다.
• θ=0.0001 및 N=100일 때, 혼합형은 평균 687.3개의 혼합 부등식을 분리하고, 평균 800초 이내에 9개의 사례를 최적해로 해결한다—개선 설정보다 3개 더 많은 사례를 해결한다.
• N=300, θ=0.0001일 때 혼합형의 루트 갭은 평균 10.28%이지만, 최적해로 해결하는 사례 수(5개)는 개선 설정(6개)보다 적어, 갭 감소와 정수성 간의 상충 관계를 보여준다.
• 분위수 기반 강화 절차는 θ 값이 작을수록 가장 효과적이며, θ가 증가함에 따라 수익 감소가 발생한다. 계산적으로 비용이 많이 들지만 적용 가능한 경우 매우 유익하다.