[논문 리뷰] Distributions of a particle's position and their asymptotics in the $q$-deformed totally asymmetric zero range process with site dependent jumping rates

Eunghyun Lee, Dong Wang|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 26.

Random Matrices and Applications참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 위치에 따라 다른 점프 비율을 가진 유한계 및 스텝 초기 조건 하에서 $q$-deformed Totally Asymmetric Zero Range Process (q-TAZRP)에서 태그된 입자의 위치 정확한 확률 분포를 유도한다. 분포에 대한 프레드홀름 행렬식 표현을 수립하고, 시간이 무한해질 때 GUE Tracy–Widom 분포로의 점근적 수렴을 증명하여, 비대칭 단순 배제 과정과 유사한 보편적인 극한 행동을 드러낸다.

ABSTRACT

In this paper we study the probability distribution of the position of a tagged particle in the $q$-deformed Totally Asymmetric Zero Range Process ($q$-TAZRP) with site dependent jumping rates. For a finite particle system, it is derived from the transition probability previously obtained by Wang and Waugh. We also provide the probability distribution formula for a tagged particle in the $q$-TAZRP with the so-called step initial condition in which infinitely many particles occupy one single site and all other sites are unoccupied. For the $q$-TAZRP with step initial condition, we provide a Fredholm determinant representation for the probability distribution function of the position of a tagged particle, and moreover we obtain the limiting distribution function as the time goes to infinity. Our asymptotic result for $q$-TAZRP with step initial condition is comparable to the limiting distribution function obtained by Tracy and Widom for the $k$-th leftmost particle in the asymmetric simple exclusion process with step initial condition (Theorem 2 in Commun. Math. Phys. 290, 129--154 (2009)).

연구 동기 및 목표

• 유한한 $N$-입자 $q$-TAZRP에서 위치에 따라 다른 점프 비율을 가진 태그된 입자의 위치에 대한 정확한 확률 분포를 도출하는 것.
• 무한한 수의 입자가 한 위치에 존재하는 스텝 초기 조건으로의 분석 확장을 위한 것.
• 스텝 초기 조건 하에서 입자 위치 분포에 대한 프레드홀름 행렬식 표현을 제공하는 것.
• 시간 $t \to \infty$일 때 분포의 점근적 행동을 분석하는 것, 특히 고정된 입자 순위에 대해.
• ASEP에서의 결과와 유사하게, 극한 분포가 GUE Tracy–Widom 법칙과 일치함을 보여 보편성을 확립하는 것.

제안 방법

• Wang과 Waugh의 결과를 바탕으로, 위치에 따라 다른 점프 비율 $g(k;x) = a_x(1 - q^k)$를 가진 유한한 $q$-TAZRP의 전이 확률에서 오른쪽에서 $m$-번째 입자의 주변 분포를 유도한다.
• 스텝 초기 조건 하에서 태그된 입자의 위치 확률 생성함수를 적분 경로 표현을 통해 표현한다.
• 적분 연산자에 기반한 추적-클래스 연산자를 이용해 태그된 입자의 위치 누적 분포함수에 대한 프레드홀름 행렬식 표현을 구성한다.
• 시간 $t \to \infty$의 극한에서 프레드홀름 행렬식에 점근적 분석을 적용하며, $n^{2/3}$, $n^{1/2}$, $n^{1/3}$ 항을 포함하는 스케일링 근사를 사용한다.
• 점근적 행동을 해석하기 위해 $q$-TASEP 및 랜덤 행렬 이론(특히 GUE, BBP, GUE 고유값 분포)의 알려진 결과에 의존한다.
• 스케일링 매개변수를 정의하기 위해 특수함수인 $q$-다이감마 함수 및 $q$-삼각함수 미분함수 ($\Psi_q$, $\Psi_q'$)를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위치에 따라 다른 점프 비율을 가진 유한한 $q$-TAZRP에서 태그된 입자의 위치에 대한 정확한 확률 분포는 무엇인가?
• RQ2 스텝 초기 조건 하에서 $q$-TAZRP에서 오른쪽에서 $m$-번째 입자의 위치 분포는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 스텝 초기 조건 하에서 입자 위치 분포는 프레드홀름 행렬식으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 시간 $t \to \infty$일 때 고정된 $m$에 대해 태그된 입자의 위치 분포의 극한 분포는 무엇인가?
• RQ5 극한 분포는 ASEP 및 $q$-TASEP에서 관찰된 Tracy–Widom 법칙과 유사한 보편적 행동을 보이는가?

주요 결과

• 위치에 따라 다른 비율을 가진 유한한 $q$-TAZRP에서 오른쪽에서 $m$-번째 입자의 확률 분포는 기존 전이 확률의 주변 분포로 명시적으로 도출된다.
• 스텝 초기 조건 하에서 태그된 입자의 위치 누적 분포함수는 복소수 경로 적분 상의 추적-클래스 연산자에 대한 프레드홀름 행렬식으로 표현된다.
• 시간 $t \to \infty$의 극한에서 오른쪽에서 $m$-번째 입자의 분포는 스케일링 매개변수 $\theta > \log_q \alpha$일 때 GUE Tracy–Widom 분포로 수렴하며, 이는 보편적인 Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) 유형의 변동성을 나타낸다.
• 만약 $\theta = \log_q \alpha$이면, 극한 분포는 랭크 $k$를 가진 BBP 분포가 되며, 이는 시스템의 변동 행동에서 계면 전이를 반영한다.
• 만약 $\theta < \log_q \alpha$이면, 극한 분포는 $k \times k$ GUE 행렬의 최대 고유값과 일치하며, 이는 다른 변동 영역을 나타낸다.
• 점근적 결과는 상호작용 입자 시스템에서 새로운 보편적 행동을 확인하며, 이는 유사한 스케일링 하에서 비대칭 단순 배제 과정(ASEP)의 결과와 극한 분포가 일치함을 시사한다.