[논문 리뷰] Dividend and Capital Injection Optimization with Transaction Cost for Spectrally Negative Lévy Risk Processes

Wenyuan Wang, Yuebao Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 30.

Probability and Risk Models참고 문헌 40인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 분할 수익금과 자본 증자에 대한 거래비용을 포함하는 스펙트르리 음성 Lévy 과정으로 모델링된 보험사의 최적 인프루트 배당 및 자본 증자(IDCI) 전략을 연구한다. 기대 순-discounted 수익금에서 증자 비용을 뺀 값을 최대화하는 최적의 $(z_1, z_2)$ 전략을 도출하며, 이 전략이 스케일 함수를 통해 명시적으로 기술되고 최적성 조건이 검증됨을 증명한다.

ABSTRACT

For an insurance company with reserve modeled by the spectrally negative Lévy process, we study the optimal impulse dividend maximizing the expected accumulated net dividend payment subtracted by the accumulated cost of injecting capital. In this setting, the beneficiary of the dividends injects capital to ensure a non-negative risk process so that the insurer never goes bankrupt. The optimal impulse dividend and capital injection strategy together with its value function are obtained.

연구 동기 및 목표

• 고전적 배당 최적화의 실용적 한계를 해결하기 위해 배당과 자본 증자에 대한 거래비용을 통합한다.
• 파산을 방지하고 순자산을 유지하기 위해 자본 증자를 모델링하여 장기적 유동성 확보를 도모한다.
• 배당 수익금에서 증자 비용을 뺀 기대 순-discounted 가치를 최대화하는 최적의 인프루트 제어 전략을 도출한다.
• 기존의 인프루트 제어 결과를 스펙트르리 음성 Lévy 과정으로 일반화하고, 이중 거래비용을 포함한 모델로 확장한다.
• 보험사가 장기적인 수익 공유 및 자본 관리 정책을 설계할 수 있는 수치적으로 다룰 수 있는 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 스펙트르리 음성 Lévy 리스크 과정에서 배당과 자본 증자에 고정된 거래비용을 포함하는 IDCI 문제를 확률적 제어 문제로 설정한다.
• 가장자기-해밀턴-자코비-벨만(HJB) 부등식 프레임워크를 사용하여 가치 함수와 후보 최적 전략을 특성화한다.
• 스케일 함수 $W^{(q)}$와 $Z^{(q)}$를 활용하여 후보 전략에 대한 가치 함수를 닫힌 형태로 표현한다.
• 후보 가치 함수가 HJB 부등식과 제어 경계에서의 스무스 페스팅 조건을 만족함을 보여줌으로써 최적성을 검증한다.
• 스케일 함수와 모델 파라미터에 의존하는 목적 함수 $\xi(z_1, z_2)$를 최대화하여 최적의 $(z_1, z_2)$ 전략을 유도한다.
• 조정된 파rameter $\mu=1$, $\sigma=0.36$, $q=0.05$, $\phi=1.05$를 가진 브라운 운동 예시를 사용하여 최적 전략의 수치적 검증을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트르리 음성 Lévy 리스크 과정에서 배당과 자본 증자에 대한 거래비용을 고려할 경우, 최적의 인프루트 배당 및 자본 증자 전략은 무엇인가?
• RQ2 배당과 자본 증자에 대한 거래비용이 함께 작용할 때, 최적의 배당 및 증자 수준에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 최적 전략의 구조는 어떠한가? 어떤 조건에서 $(z_1, z_2)$-유형의 인프루트 제어가 최적인가?
• RQ4 거래비용 $c$와 자본 증자 비용 $\phi$의 변화가 최적의 임계값 $z_1$과 $z_2$에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 스케일 함수를 사용하여 가치 함수를 명시적으로 기술할 수 있으며, 후보 전략이 최적으로 확인되었는가?

주요 결과

• 최적의 IDCI 전략은 순자산이 $z_2$에 도달할 때마다 배당을 지급하고 자본을 증자하여 순자산을 $z_1$으로 낮추는 $(z_1, z_2)$-유형의 인프루트 제어이다.
• 거래비용 $c=0.1$, $\phi=1.05$, $\mu=1$, $\sigma=0.36$, $q=0.05$일 때 최적의 임계값은 $(z_1, z_2) = (0.02682, 2.12950)$이며, 이는 목적 함수 $\xi$를 최대화한다.
• 거래비용 $c$가 증가함에 따라 $z_1$은 천천히 감소하고 $z_2$는 증가하여 거래 빈도를 줄이기 위해 더 큰 금액의 일괄 배당과 순수익금을 유도한다.
• 자본 증자 비용 $\phi$가 증가할수록 $z_1$과 $z_2$는 둘 다 점진적으로 증가하지만, 순수익금 $z_2 - z_1 - c$는 거의 일정하게 유지되어 증자 비용에 대한 헤지 효과를 보인다.
• 값 함수 $V^{z_2}_{z_1}(x)$는 조각별로 정의되며, $x \leq z_2$에서는 지수 조합이고 $x > z_2$에서는 선형인데, $x = z_2$에서 연속성과 매끄러움이 보장된다.
• 수치적 검증 결과, $x \geq z_2$에 대해 $G(x) \geq 0$임을 확인하여 최적성 정리에서 요구하는 조건을 만족함을 입증한다.