[논문 리뷰] Do Black Holes Exist in a Finite Universe Having the Topology of a Flat 3-Torus?

Frank Steiner|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 10.

Galaxies: Formation, Evolution, Phenomena참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Appell 및 Epstein 제타 함수를 사용하여 발산하는 영상 방법을 정규화함으로써 정적이고 비회전성 별에 대한 아인슈타인 방정식의 1차 해를 유도하여, 유한하고 평탄한 3토러스 우주에서 블랙홀이 존재할 수 있음을 제안한다. 이 해는 Λ_top > 0 인 위상수학적 어둠의 에너지 항을 드러내며, 이는 반발력을 유도하고 비등방성 중력장을 초래하여 비르호프 정리 위반을 일으키며, 질량, 부피, 그리고 5개의 테이히뮐러 매개변수를 포함한 총 6개의 매개변수를 가진 '털기'가 있는 블랙홀을 시사한다.

ABSTRACT

Based on perturbation theory, we present the exact first-order solution to the Einstein equations for the exterior static gravitational field of an isolated non-rotating star in a spatially finite universe having the topology of a flat 3-torus. Since the method of images leads to a divergent Poincare' series, one needs a regularization which we achieve by using the Appell respectively the Epstein zeta function. The solution depends on a new positive constant which is completely fixed by the mass of the star and the spatial volume of the universe. The physical interpretation is that a stable or metastable equilibrium requires a topological dark energy which fills the whole universe with positive energy density and negative pressure. The properties of the gravitational field are discussed in detail. In particular, its anisotropy is made explicit by deriving an exact multipole expansion which shows that in this case Birkhoff's theorem does not hold. While the monopole describes the Newtonian potential, there is no dipole but always a non-vanishing quadrupole which leads to a repulsive force experienced by a planet at rest. Finally, we put forward the conjecture that black holes exist in a toroidal universe and that their gravitational field is in the weak-field limit well approximated by the first-order field.

연구 동기 및 목표

• 무한한 평탄한 공간을 전제로 하는 표준 가정을 도전하면서, 평탄한 3토러스 위상의 공간적으로 유한한 우주에서 블랙홀이 존재할 수 있는지 조사하기.
• 콤���한 우주에서 영상 방법의 발산 문제를 해결하기 위해 Appell 및 Epstein 제타 함수를 적용하여 정규화하기.
• 해당 위상에서 비회전성 별의 1차 외부 중력장 해를 유도하고 그 물리적 함의를 규명하기.
• 토러스 우주에서 비르호프 정리가 성립하는지 검토하고, 위상적 털기(위상수학적 털)가 있는 '털기 있는' 블랙홀의 가능성을 탐색하기.
• 전역 위상에서 기인하는 위상수학적 어둠의 에너지 메커니즘을 제안하며, 측정 가능한 비등방성 중력 효과를 규명하기.

제안 방법

• 일반 상대성 이론의 1차 섭동 이론을 사용하여, 유한하고 평탄한 3토러스 우주에서의 별에 대한 아인슈타인 장 방정식을 해결하기.
• 중력 포텐셜을 모델링하기 위해 영상 방법을 적용하지만, Appell의 및 Epstein의 제타 함수를 사용하여 발생하는 발산하는 Poincaré 급수를 정규화하기.
• R_μν = -Λ_top g_μν 를 만족하는 계량 해를 도출하며, 여기서 Λ_top 은 질량 M 과 공간 부피 |Ω| 에 의해 결정되는 양수 상수이다.
• 중력 포텐셜의 다중극 전개를 수행하여, 일차 모멘트 항이 없고, 비영인 2차 모멘트 항이 존재하는 것을 밝혀내기.
• 비등방성 부분을 분리하기 위해 추상적인 2차 모멘트 텐서 D̂_kl 을 정의하고, 그 힘 기여도를 분석하기.
• 토러스 우주에서 완전한 블랙홀 해는 이 약한장 해에 의해 잘 근사될 수 있으며, 특히 원거리 영역에서 그러한 근사가 타당하다는 추측을 제기하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콤팩트하고 평탄한 3토러스 우주에서 영상 방법이 유한한 중력 포텐셜을 도출하는가, 아니면 발산하는가?
• RQ2 유한하고 위상수학적으로 비자명한 우주에서 별에 대한 일관된 1차 해를 아인슈타인 방정식으로부터 도출할 수 있는가?
• RQ3 위상수학적 비등방성으로 인해 유도된 중력장이 비르호프 정리를 위반하는가?
• RQ4 이 맥락에서 효과적인 만유상수 Λ_top 의 물리적 기원과 성질은 무엇인가?
• RQ5 토러스 우주에서의 블랙홀은 질량 외에 위상으로 인해 추가 매개변수(털기)를 가질 수 있는가?

주요 결과

• 중력장 해는 Λ_top > 0 인 R_μν = -Λ_top g_μν 를 만족하며, 이는 위상수학적 어둠의 에너지 밀도 ε_top ∼ Λ_top 과 음의 압력 p_top = -ε_top 을 의미한다.
• 단극항은 뉴턴 포텐셜에 해당하며, 첫 번째로 비영인 다중극은 2차 모멘트 장 Φ_Q(x) = - (Λ_top c² / 6) r² - GM ∑_{k,ℓ} D̂_kℓ x_k x_ℓ 이다.
• 별의 질량과 무관하게 존재하는 반발력 중심력 ∼ (Λ_top c² / 3) r 이 존재하며, 이는 오직 위상수학적 상수 Λ_top 에 의해 기인한다.
• 추상 텐서 D̂_kℓ 에 의한 비등방성 힘은 일반적으로 비영이며, 토러스의 형태에 따라 달라지며, 정육면체 토러스와 같은 대칭적인 경우에만 0이 된다.
• 이 해는 전역 회전 대칭성을 명백히 위반하며, 이는 3토러스 우주에서 비르호프 정리가 성립하지 않음을 입증한다.
• 저자들은 이러한 우주에서의 블랙홀이 질량 M, 공간 부피 |Ω|, 그리고 5개의 테이히뮐러 매개변수를 포함한 '털기 있는' 것으로 추측하며, 이는 슈바르츠실트 블랙홀과 근본적으로 다름을 시사한다.