[논문 리뷰] Does Quantum Mechanics allow for Infinite Parallelism?

Martin Ziegler|arXiv (Cornell University)|2004. 10. 19.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 12인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 양자역학이 무한한 병렬 처리를 가능하게 하는지 조사하며, 계산 능력과 물리적 실현 가능성 사이를 분리한다. 무한한 고전적 병렬 처리—가장자리의 튜링 기계 가족을 통해—는 정지 문제와 힐베르트의 제10 문제를 해결할 수 있으며, 재귀적으로 열거 가능한 성질을 달성하지만, 무한한 병렬 처리조차도 총합성 문제는 해결할 수 없으며, 이는 여전히 도달 불가능한 영역에 머무른다.

ABSTRACT

Recent works have independently suggested that Quantum Mechanics might permit for procedures that transcend the power of Turing Machines as well as of `standard' Quantum Computers. These approaches rely on and indicate that Quantum Mechanics seems to support some infinite variant of classical parallel computing. We compare this new one with other attempts towards hypercomputation by separating 1) its principal computing capabilities from 2) realizability issues. The first are shown to coincide with recursive enumerability; the second are considered in analogy to `existence' in mathematical logic.

연구 동기 및 목표

• 양자역학이 무한한 병렬 처리를 통해 초계산을 가능하게 하는지 명확히 하는 것.
• 무한한 병렬 처리의 핵심 계산 능력을 물리적 실현 가능성 문제에서 분리하는 것.
• 물리적 구현 방식과는 독립적으로 무한한 병렬 계산에 의해 결정 가능한 문제의 정확한 클래스를 규명하는 것.
• 양자역학에서의 무한한 병렬 처리가 튜링 기계의 한계를 초월할 수 있는지 평가하는 것.
• 무한한 병렬 처리를 통해 계산 가능한 것과 여전히 계산 불가능한 것(예: 총합성 문제) 사이의 경계를 설정하는 것.

제안 방법

• 자연수 $k \in \mathbb{N}$ 에 따라 인덱싱된 튜링 기계 $(M_k)$ 의 가족을 사용하여 무한한 병렬 처리의 형식적 모델을 제안한다. 각 $M_k$ 는 문제의 특정 인스턴스를 해결한다.
• 계산 가능한 가족을 위한 네 가지 조건(ⅰ–ⅳ)을 정의한다: (ⅰ) 입력에 대해 정확한 출력, (ⅱ) 수락 시 정지, (ⅲ) $k$ 와 무관한 유한한 실행 시간, (ⅳ) 보편 튜링 기계로부터 각 $M_k$ 를 계산 가능한 방식으로 생성할 수 있음.
• 각 $M_k$ 의 실행 시간을 $k$ 와 무관한 상수로 줄이기 위해 선형 빠르기 보조정 정리를 적용하여, 모델 하에서의 실현 가능성을 확보한다.
• 보편 튜링 기계를 사용해 각 $M_k$ 를 순차적으로 시뮬레이션함으로써, $k$ 에 대한 존재적 탐색을 통한 문제의 준결정성(semi-decidability)을 달성한다.
• 이 모델 하에서 재귀적으로 열거 가능한(준결정 가능한) 문제는 모두 해결 가능하다는 것을 보이며, 문제를 이러한 기계의 가족에 인코딩함으로써 이를 실현한다.
• 이 모델이 총합성 문제—$\Pi_2$-완전 문제—를 해결할 수 없다는 것을 증명한다. 이는 총합성 문제가 재귀적으로 열거 가능하지 않으며, 따라서 $\Sigma_1$ 클래스 외부에 있음을 보여주기 때문이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자역학에서의 무한한 병렬 처리는 튜링 기계의 범위를 초월하는 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ2 형식적으로 튜링 기계의 가족으로 정의된 무한한 고전적 병렬 처리의 정확한 계산 능력은 무엇인가?
• RQ3 양자역학에서의 무한한 병렬 처리는 표준 양자 계산이나 고전적 초계산보다 더 높은 성능을 내는가?
• RQ4 정지 문제와 힐베르트의 제10 문제는 무한한 병렬 처리를 통해 해결 가능한가? 만약 가능하면 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ5 무한한 병렬 처리의 한계는 무엇인가? 특히 총합성 문제나 기타 $\Pi_2$-완전 문제를 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 네 가지 조건을 만족하는 계산 가능한 튜링 기계의 가족으로 정의된 무한한 고전적 병렬 처리는 재귀적으로 열거 가능한(준결정 가능한) 문제라면 어떤 문제든 해결할 수 있다.
• 정지 문제와 힐베르트의 제10 문제 모두 이 모델 하에서 해결 가능하다. 이는 이 문제가 이미 재귀적으로 열거 가능하다는 점에서 알려져 있다.
• 선형 빠르기 보조정 정리를 적용한 후 각 기계 $M_k$ 의 실행 시간이 $k$ 와 무관한 상수로 유지되어, 모델 하에서의 실현 가능성이 보장된다.
• 이 모델은 총합성 문제—$\Pi_2$-완전 문제—를 해결할 수 없다. 총합성 문제가 재귀적으로 열거 가능하지 않으며, 따라서 $\Sigma_1$ 클래스 외부에 있기 때문이다.
• 이 모델 하에서 무한한 병렬 처리의 계산 능력은 정확히 재귀적 열거 가능성과 일치하며, 정지 문제 오라클을 가진 보편 튜링 기계로 해결 가능한 문제의 클래스와 동일하다.
• 이러한 무한한 병렬 처리가 양자역학에서 물리적으로 실현 가능한지 여부는 여전히 열려 있는 문제이지만, 모델은 핵심 계산 능력이 이미 고전적으로 실현 가능하다는 것을 보여준다.