[논문 리뷰] Domain Decomposition with local impedance conditions for the Helmholtz equation

Ivan G. Graham, Euan A. Spence외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 10.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 겹치는 부분도메인에서 국소적 임피던스 조건을 사용하고, 분할 일치(prolongation)를 통합한 일차 수준의 애드티브 슈바르츠 조건자(preconditioner)를 제안한다. 이는 증가하는 파수 k에 대해 k-로버스트한 GMRES 수렴을 달성하며, 에너지 내적에서 조건자 행렬의 노름과 값 도메인에 대한 이론적 경계에 의해 뒷받침된다.

ABSTRACT

We consider one-level additive Schwarz preconditioners for the equation (with increasing wavenumber $k$), discretized using fixed-order nodal conforming finite elements on a family of simplicial fine meshes with diameter $h$, chosen to maintain accuracy as $k$ increases. The preconditioners combine independent local solves (with impedance boundary conditions) on overlapping subdomains of diameter $H$ and overlap $\delta$, and prolongation/restriction operators defined using a partition of unity, this formulation was previously proposed in [J.H. Kimn and M. Sarkis, Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg. 196, 1507-1514, 2007]. In numerical experiments (with $\delta \sim H$) we observe robust (i.e. $k-$independent) GMRES convergence as $k$ increases, both with $H$ fixed, and with $H$ decreasing moderately as $k$ increases. This provides a highly-parallel, $k-$robust one-level domain-decomposition method. We provide supporting theory for this observation by studying the preconditioner applied to a range of absorptive problems, $k^2\mapsto k^2+ \mathrm{i} \varepsilon$, with absorption parameter $\varepsilon$, including the Helmholtz case ($\varepsilon = 0$). Working in the energy inner product, we prove a robust upper bound on the norm of the preconditioned matrix, valid for all $\varepsilon, \delta$. Under additional conditions on $\varepsilon$ and $\delta$, we also prove a strictly-positive lower bound on the distance of the field of values of the preconditioned matrix from the origin. Using these results, combined with previous results of [M.J. Gander, I.G. Graham and E.A. Spence, Numer. Math. 131(3), 567-614, 2015] we obtain theoretical support for the observed robustness of the preconditioner for the pure problem with increasing wavenumber $k$.

연구 동기 및 목표

• 증가하는 파수 k에 따라도 수렴성이 유지되는 도메인 분할 조건자를 개발하는 것.
• 복소수 이격 ε를 가진 흡수형 공식을 사용하여 고주파 영역에서 조건자의 행동을 분석하는 것.
• 수치 실험에서 관측된 k-로버스트성에 대한 이론적 근거를 조건자 행렬의 경계를 통해 제공하는 것.
• 조건자 행렬이 잘 조절되어 있고, 그 값 도메인이 원점에서 충분히 떨어져 있도록 보장하는 조건을 설정하는 것.

제안 방법

• 직경 H와 겹침 δ를 가진 겹치는 부분도메인을 사용하며, 각 부분도메인에서 임피던스 경계 조건을 사용한 국소적 해법을 적용한다.
• 일致성과 안정성을 보장하기 위해 분할 일치(partition of unity)를 사용하여 연장 및 제한 연산자를 구성한다.
• k² → k² + iε인 흡수형 헬름홀츠 문제의 가족에 대해 에너지 내적에서 조건자 분석을 수행한다.
• 모든 ε > 0 및 δ > 0에 대해 조건자 행렬의 노름에 대한 이론적 경계를 유도한다.
• 값 도메인이 원점에서의 거리에 대해 엄밀히 양수인 하한을 확보하기 위해 ε 및 δ에 대한 추가 조건을 도입한다.
• 이전의 이론적 연구를 활용하여 순수 헬름홀츠 경우(ε = 0)로 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적 임피던스 조건을 갖는 일차 수준의 애드티브 슈바르츠 조건자가 헬름홀츠 방정식에서 k-로버스트 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 ε 및 δ에 대한 이론적 조건은 무엇이며, 이는 고파수 한계에서 조건자 행렬이 잘 조절되어 있음을 보장하는가?
• RQ3 조건자 행렬의 에너지 노름 경계는 수치 실험에서 관측된 k-로버스트성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 분할 일치의 역할은 다양한 k 및 메esh 정밀도에서 로버스트성을 유지하는 데 어떤 기여를 하는가?

주요 결과

• 모든 ε > 0 및 δ > 0에 대해 조건자 행렬의 노름에 대해 안정적인 상한 경계가 증명되었으며, 이는 k에 독립적이다.
• ε 및 δ에 대한 추가 조건 하에, 값 도메인이 원점에서의 거리에 대해 엄밀히 양수인 하한이 확립되어 조건자 행렬의 잘 조절됨이 보장된다.
• 수치 실험에서 관측된 k-로버스트한 GMRES 수렴에 대해 이론적 근거가 제공된다. k가 증가함에 따라에도 성립한다.
• 고정된 H 또는 k 증가에 따라 H가 중간 정도로 감소하는 경우에도 방법이 효과적으로 유지되며, 실용적 로버스트성을 보여준다.