[논문 리뷰] Analysis of the SORAS domain decomposition preconditioner for non-self-adjoint or indefinite problems

Marcella Bonazzoli, Xavier Claeys외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 20.

Matrix Theory and AlgorithmsComputer Science참고 문헌 29인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 비자기대칭 또는 비정정 선형계를 위한 SORAS(Symmetrized Optimized Restricted Additive Schwarz) 도메인 분할 조건부 조건자에 대한 엄밀한 수렴 분석을 제시하며, 기존 이론을 대칭 양의 정부호 문제를 초월해 일반화한다. 조건부 행렬의 노름 및 그 값의 도메인 원점으로부터의 거리에 대한 경계를 확립함으로써, 저자들은 반응-대류-확산 방정식에 대한 GMRES의 수렴을 입증한다. 이는 근사 메esh나 계수에 대한 제약 조건 없이도 성립한다.

ABSTRACT

We analyze the convergence of the one-level overlapping domain decomposition preconditioner SORAS (Symmetrized Optimized Restricted Additive Schwarz) applied to a generic linear system whose matrix is not necessarily symmetric/self-adjoint nor positive definite. By generalizing the theory for the Helmholtz equation developed in [I.G. Graham, E.A. Spence, and J. Zou, SIAM J.Numer.Anal., 2020], we identify a list of assumptions and estimates that are sufficient to obtain an upper bound on the norm of the preconditioned matrix, and a lower bound on the distance of its field of values from the origin. We stress that our theory is general in the sense that it is not specific to one particular boundary value problem. Moreover, it does not rely on a coarse mesh whose elements are sufficiently small. As an illustration of this framework, we prove new estimates for overlapping domain decomposition methods with Robin-type transmission conditions for the heterogeneous reaction-convection-diffusion equation (to prove the stability assumption for this equation we consider the case of a coercive bilinear form, which is non-symmetric, though).

연구 동기 및 목표

• 표준 스펙트럼 분석이 실패하는 비자기대칭 또는 비정정 문제에 대해 일반적인 수렴 프레임워크를 개발하기 위해.
• 대칭 양의 정부호 문제를 초월해 도메인 분할 조건부 조건자에 대한 값의 도메인 기반 분석을 확장하기 위해.
• 로빈 유형 전달 조건을 갖는 비균질 반응-대류-확산 방정식에 적용된 SORAS 조건부 조건자에 대한 수렴 경계를 설정하기 위해.
• 저자메쉬 없이도 대류, 반응, 확산 계수의 변화에 대해 수렴성이 견고하게 유지됨을 증명하기 위해.

제안 방법

• 헬름홀츠 방정식에서부터 비자기대칭 및 비정정 문제의 광범위한 클래스로 값의 도메인 접근법을 일반화하기 위해.
• 조건부 행렬의 노름 및 값의 도메인 원점으로부터의 거리에 대한 경계를 확보하기 위해 충분한 조건과 추정을 정의하기 위해.
• 강제성 있는 비대칭 이차형태를 갖는 반응-대류-확산 방정식에 이 프레임워크를 적용하기 위해.
• 서브도메인 경계에서 로빈 유형 전달 조건을 사용하여 SORAS 조건부 조건자를 구성하기 위해.
• 물리적 계수 및 수치적 파rameter에 대한 최소한의 가정 하에 안정성 및 수렴성을 증명하기 위해.
• FreeFEM 및 ffddm 프레임워크를 사용하여 이론을 수치적으로 검증하며, 대류 지배 영역에서는 SUPG 안정화를 포함하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 값의 도메인 프레임워크는 비자기대칭 및 비정정 문제에 대해 수렴 경계를 제공하도록 일반화될 수 있는가?
• RQ2 SORAS 조건부 조건자가 조건부 행렬의 노름이 유계이고 값의 도메인 원점에서 떨어져 있음을 보장하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 로빈 전달 조건을 갖는 반응-대류-확산 방정식에 적용된 SORAS 조건부 조건자에 대해 수렴 경계를 엄밀히 확립할 수 있는가?
• RQ4 특히 대류 지배 영역에서 대류 강도, 반응 계수, 점성도에 대해 수렴성이 견고한가?
• RQ5 작은 요소를 갖는 저자메쉬에 의존하지 않고도 방법이 여전히 효과적인가?

주요 결과

• 비대칭이면서 강제성 있는 이차형태를 갖는 반응-대류-확산 방정식에 대해 SORAS 조건부 조건자가 로빈 유형 전달 조건을 갖는 경우에도 수렴을 달성한다.
• 대류 및 반응 계수의 변화에 관계없이 GMRES 반복 횟수는 유계이면서 견고하며, 수치 실험에서 ORAS는 일반적으로 SORAS를 능가한다.
• a = [1, 0]T 인 대류 지배 문제에서는 표준 갈레르킨 방법이 불안정성을 보이지만, SUPG 안정화를 통해 복구되고 수렴성이 확보된다.
• 약한 스케일링 테스트에서 반복 횟수는 서브도메인 수 N이 증가함에 따라 증가하며, 특히 점성도 ν = 0.001일 경우 두 수준 방법의 필요성이 드러난다.
• 더 큰 오버랩 δ를 사용할수록 SORAS 및 ORAS의 수렴성이 향상되며, 안정성 조건 ˜c = c₀ − 1 위반 시에도 두 방법 모두 효과를 유지한다.
• 이론적 프레임워크는 작은 요소를 갖는 저자메쉬를 요구하지 않아 이전의 두 수준 접근과 구별된다.