[논문 리뷰] Dominance inequalities for scheduling around an unrestrictive common due date

Anne-Elisabeth Falq, Pierre Fouilhoux외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 15.

Scheduling and Optimization Algorithms참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비제한 공통 마감일 스케줄링 문제를 위한 압축된 정수형혼합계획형식(MIP)을 강화하기 위해 삽입 및 교환 이웃 연산에서 유도된 선형 제약 조건인 지배 불등식을 도입한다. 이러한 지배 불등식은 국소적으로 최적이 아닌 정수해를 잘라내어 계산 시간을 크게 단축시키며, 150개 작업 인스턴스를 1시간 이내에 정확하게 해결할 수 있게 해 이전 방법들을 능가한다.

ABSTRACT

The problem considered in this work consists in scheduling a set of tasks on a single machine, around an unrestrictive common due date to minimize the weighted sum of earliness and tardiness. This problem can be formulated as a compact mixed integer program (MIP). In this article, we focus on neighborhood-based dominance properties, where the neighborhood is associated to insert and swap operations. We derive from these properties a local search procedure providing a very good heuristic solution. The main contribution of this work stands in an exact solving context: we derive constraints eliminating the non locally optimal solutions with respect to the insert and swap operations. We propose linear inequalities translating these constraints to strengthen the MIP compact formulation. These inequalities, called dominance inequalities, are different from standard reinforcement inequalities. We provide a numerical analysis which shows that adding these inequalities significantly reduces the computation time required for solving the scheduling problem using a standard solver.

연구 동기 및 목표

• 비제한 공통 마감일을 중심으로 가중 조기 및 지각 시간을 고려한 NP-난이도의 단일 기계 스케줄링 문제를 해결하기 위해.
• 삽입 및 교환 연산을 통한 이웃 기반 지배 성질을 활용하여 정확한 MIP 설정에서 열악한 정수해를 제거하기 위해.
• 기존의 강화 또는 대칭성 제거 불등식과는 다름없이 국소적으로 지배되지 않는 해를 잘라내는 선형 불등식의 새로운 클래스인 지배 불등식을 개발하기 위해.
• 이러한 지배 불등식을 압축 MIP 설정에 통합하여 정확한 해법기(예: CPLEX)의 성능을 향상시키기 위해.
• 지배 불등식이 히우리스틱 및 정확한 해법 환경 모두에서 효과적으로 작용하는지 입증하기 위해.

제안 방법

• 구조적 지배 성질을 통해 지배적인 스케줄링을 인코딩하는 분할 변수를 사용하여 비제한 공통 마감일 문제(UCDDP)를 압축된 정수형혼합계획형식(MIP)으로 공식화한다.
• 작업 순서에 대한 삽입 및 교환 연산을 통해 이웃 기반 지배 성질을 정의하고, 이웃 내에서 국소적으로 최적의 해를 식별한다.
• 해가 어떤 삽입 또는 교환 이웃에 의해 국소적으로 지배되지 않아야 한다는 조건을 수학적으로 표현하는 선형 불등식—즉, 지배 불등식—을 유도한다.
• 이러한 지배 불등식을 MIP 설정에 통합하여 분기컷 과정에서 국소적으로 최적이 아닌 정수해를 제거한다.
• 최적화 과정 중에 동적으로 지배 불등식을 분리하고 추가하기 위해 CPLEX의 사용자 컷 콜백을 구현한다.
• 지배 불등식을 통해 MIP 설정을 강화하여 루트 노드에서의 하한을 향상시키고 탐색된 노드 수를 줄인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이웃 기반 지배 성질(삽입 및 교환)을 선형 불등식으로 변환하여 MIP 설정에서 국소적으로 지배되지 않는 정수해를 잘라낼 수 있는가?
• RQ2 지배 불등식은 표준 강화 및 대칭성 제거 불등식과 비교해 MIP 해법 성능 향상에 어떻게 기여하는가?
• RQ3 지배 불등식은 계산 시간을 얼마나 줄이고 더 큰 UCDDP 인스턴스를 해결하는 데에 얼마나 기여하는가?
• RQ4 지배 불등식을 추가함으로써 선형 이완 값과 루트 노드 하한에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 지배 불등식은 스케줄링 문제의 히우리스틱 및 정확한 해법 환경 모두에서 효과적으로 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 지배 불등식을 추가함으로써 200개 작업 인스턴스에 대해 평균 계산 시간이 10.8% 감소하고 노드 수가 37.0% 감소하여 해법기 효율성이 크게 향상된다.
• 기존 표준 MIP 접근 방식으로는 불가능했던 150개 작업 인스턴스를 1시간 이내에 정확하게 해결할 수 있게 되었으며, 이는 상당한 확장성 향상을 보여준다.
• 50개 작업 인스턴스에 대해 지배 불등식의 분리 기반 구현은 O(n³) 분리 오버헤드로 인해 계산 시간이 1513초로 증가했지만, 이는 비효율적인 콜백 사용 때문이지 지배 불등식 자체의 효율성 부족 때문이 아니다.
• CPLEX의 프리프로세싱과 함께 사용할 경우 지배 불등식은 루트 노드의 하한을 향상시키지만, 변수를 연속적으로 유지할 경우 영향을 미치지 않아, 지배 불등식의 영향력이 프리프로세싱 및 분기 결정과 관련이 있음을 시사한다.
• 지배 불등식에서 유도된 히우리스틱 해는 Biskup & Feldmann (2001a)의 해를 능가하며, 200개 작업 이하의 인스턴스에 대해 20초 이내에 해를 도출한다.
• 지배 불등식을 통해 15% 이내의 갭을 가진 하한을 420초 이내에 확보할 수 있어, 지배 불등식이 하한 향상에 실용적인 기여를 한다는 것을 보여준다.