[논문 리뷰] Double Bicategories and Double Cospans

Jeffrey C. Morton|arXiv (Cornell University)|2006. 11. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 23인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 Bicat 내부의 이중 이중 범주를 사용하여 이중 범주와 이중 카테고리의 일반화인 약한 고차 카테고리적 구조인 이중 이중 범주를 도입한다. 이중 코스판을 이용해 Verity의 이중 이중 범주를 구성함으로써, 모서리가 있는 코버디즘을 모델링하고 완전히 약한 입체 2-범주적 구조를 제공하며, 위상적 양자장 이론과 고차 카테고리 이론에 적용 가능하다.

ABSTRACT

Interest in weak cubical n-categories arises in various contexts, in particular in topological field theories. In this paper, we describe a concept of double bicategory, namely a strict model of the theory of bicategories in Bicat. We show that in a special case one can reduce this to what we call a Verity double bicategory, after Domenic Verity. This is a weakened version of a double category, in the sense that composition in both horizontal and vertical directions satisfy associativity and unit laws only up to (coherent) isomorphisms. We prove that there are examples in the form of double bicategories of "double cospans" (or "double spans") in any category with pushouts (pullbacks, respectively), and give a construction from this which involves taking isomorphism classes of objects, and gives a Verity double bicategory of double cospans. We describe cobordisms with corners as an example of this construction.

연구 동기 및 목표

• 이중 범주와 이중 카테고리를 일반화하는 약한 고차 카테고리적 구조인 이중 이중 범주를 공식화하는 것.
• 푸시아웃을 갖는 범주에서의 이중 코스판이 자연스럽게 Verity 이중 이중 범주—완전히 약한 입체 2-범주적 구조—를 유도함을 보이는 것.
• 모서리가 있는 코버디즘을 위한 엄밀한 프레임워크를 제공함으로써, 위상적 양자장 이론에서 핵심적인 역할을 하는 구조를 다루는 것.
• 반복된 코스판을 통해 고차원으로 일반화함으로써, 임의의 n-중 이중 범주로 향하는 길을 제시하는 것.
• 내부 카테고리 이론과 만곡면을 가진 다양체와 같은 기하학적 구조 사이의 다리를 쌓는 것.

제안 방법

• 이중 범주를 이중 범주, 함자, 준자연변환의 2-범주 Bicat 내부의 이중 범주로 정의한다.
• 수직 및 수평적 합성이 모두 약한 구조를 가지며, 등급 조건이 동형으로까지 만족되는 특수한 경우로서 Verity 이중 이중 범주를 도입한다.
• 푸시아웃을 갖는 범주에서 이중 코스판을 구성하며, 공통된 중간 객체로 향하는 사상들을 사용하여 2-세포를 교차하는 정사각형으로 형성한다.
• 이중 코스판의 동형류가 약한 합성과 조화를 이루는 Verity 이중 이중 범주를 유도함을 보인다.
• 푸시아웃을 통한 매끄러운 접합을 통해 만곡면을 가진 다양체에 대해 코버디즘을 이중 코스판으로 모델링함으로써 이 프레임워크를 적용한다.
• 반복된 코스판을 통해 n차원 입체로 일반화함으로써, 임의의 k-중 이중 범주에 대한 계층적 구조를 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 범주와 이중 카테고리를 일반화하는 완전히 약한 입체 2-범주적 구조를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 푸시아웃을 갖는 범주에서의 이중 코스판이 수직 및 수평적 합성이 모두 약한 구조를 가지는 Verity 이중 이중 범주를 형성할 수 있는가?
• RQ3 이중 코스판은 위상적 양자장 이론에서 모서리가 있는 코버디즘을 어떻게 모델링하는가?
• RQ4 이중 코스판에서 동형류는 잘 정의된 Verity 이중 이중 범주를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이중 코스판 구성은 반복 가능하여 고차원의 약한 입체 범주를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 이중 이중 범주는 Bicat 내부의 이중 범주로서 정의되며, 약한 고차 범주에 대한 일관된 프레임워크를 제공한다.
• Verity 이중 이중 범주는 수직 및 수평적 합성이 모두 약한 구조를 가지며, 등급 조건이 동형으로까지 만족되는 특수한 경우이다.
• 푸시아웃을 갖는 범주에서의 이중 코스판은 합성이 조화로운 동형으로까지 만족되는 이중 범주를 형성한다.
• 이중 코스판의 동형류는 등가성의 존재하에 잘 정의된 합성을 보장함으로써 Verity 이중 이중 범주를 유도한다.
• 푸시아웃을 통한 만곡면을 가진 다양체의 병합을 통해 코버디즘을 모델링하며, 매끄러운 구조를 유지한다.
• 반복된 코스판은 n차원 입체를 유도하며, 임의의 k ≥ 2에 대해 k-중 이중 범주의 일반적 구성법을 제안한다.