[논문 리뷰] Pseudo Algebras and Pseudo Double Categories

Thomas M. Fiore|arXiv (Cornell University)|2006. 08. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 58인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 범주에 대한 2이론에 대한 의사 대수구조와 접기 구조를 가진 의사 이중 범주 사이의 정확한 범주론적 동치를 확립하며, 이러한 이중 범주가 엄격한 단위를 가진 이중 범주로의 엄격한 2-함수 I → C와 동치임을 보여준다. 주요 기여는 수평 이중 범주의 2-세포의 구조를 함의적으로 표현하는 호로노미(접기) 함수가 2-함수로서 어떻게 작용하는지를 드러내는 2-동치이다. 이는 2-군의 경우에 대한 교차 모듈의 개념을 일반화한다.

ABSTRACT

As an example of the categorical apparatus of pseudo algebras over 2-theories, we show that pseudo algebras over the 2-theory of categories can be viewed as pseudo double categories with folding or as appropriate 2-functors into bicategories. Foldings are equivalent to connection pairs, and also to thin structures if the vertical and horizontal morphisms coincide. In a sense, the squares of a double category with folding are determined in a functorial way by the 2-cells of the horizontal 2-category. As a special case, strict 2-algebras with one object and everything invertible are crossed modules under a group.

연구 동기 및 목표

• 범주에 대한 2이론에 대한 의사 대수구조와 접기 구조를 가진 의사 이중 범주 사이의 관계를 체계화하기.
• 이중 범주 내의 접기 구조가 호로노미 함수와 이중 범주로의 2-함수 사이에 어떻게 대응되는지 명확히 하기.
• 의사 I-범주, 접기 구조를 가진 의사 이중 범주, 엄격한 단위를 가진 이중 범주로의 엄격한 2-함수 사이의 2-동치를 수립하기.
• 약한 단위와 의사 접기로의 일반화를 위해 이등치를 사용하여 엄격한 경우를 일반화하기.

제안 방법

• 범주 I의 내부 함수 2-범주에 대한 2이론에서의 의사 준동형사상으로서의 범주에 대한 2이론에 대한 의사 대수구조를 정의한다.
• 수평 이중 범주 내의 2-세포를 호로노미 함수를 통해 결정하는 접기 구조를 가진 이중 범주 개념을 도입한다.
• 엄격한 단위를 가진 접기 구조를 가진 의사 이중 범주 2-범주에서 엄격한 단위를 가진 이중 범주로의 2-함수 I → C로의 엄격한 2-함수 2-범주로의 2-함수를 구성한다.
• 호로노미 함수를 사용하여 이중 범주 내의 수평 복합을 엄격하게 유지하고, 단위와 일致성 등식을 보존한다.
• 직접적인 역함수의 구성으로 엄격한 단위를 가진 의사 I-범주와 엄격한 단위를 가진 접기 구조를 가진 의사 이중 범주 사이의 2-동치를 증명한다.
• 이등치를 사용하여 약한 단위와 의사 접기로의 일반화를 수행하며, 엄격한 가환성 대신 일치성 등식을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 범주에 대한 2이론에 대한 의사 대수구조는 접기 구조를 가진 이중 범주 구조로 어떻게 특징지어질 수 있는가?
• RQ2 접기 구조를 가진 이중 범주와 엄격한 단위를 가진 이중 범주로의 2-함수 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 이중 범주 내의 접기 구조는 수평 이중 범주의 호로노미 함수와 2-세포 복합에 어떻게 대응되는가?
• RQ4 의사 I-범주와 의사 이중 범주 사이의 동치에서 엄격한 단위와 약한 단위의 역할은 무엇인가?
• RQ5 이등치를 사용하여 약한 단위와 의사 접기로의 일반화가 가능할 수 있는가?

주요 결과

• 기저 범주 I를 가진 범주에 대한 2이론에 대한 의사 대수구조는 엄격한 단위를 가진 접기 구조를 가진 의사 이중 범주와 2-동치이며, 이 경우 객체 범주는 I이다.
• 이중 범주 내의 접기 구조는 수평 이중 범주 내의 2-세포 복합을 함의적으로 표현하는 호로노미 함수와 동치이다.
• 엄격한 단위를 가진 접기 구조를 가진 의사 이중 범주 2-범주는 엄격한 단위를 가진 이중 범주로의 2-함수 I → C로의 2-범주와 2-동치이다.
• 단체가 I인 경우, 엄격한 단위를 가진 의사 I-범주는 접기 구조를 가진 의사 이중 범주와 엄격한 2-함수로의 이중 범주로의 2-함수와 모두 2-동치이다.
• 약한 단위와 의사 접기로의 일반화에 대해서도 유사한 이등치가 성립하며, 엄격한 가환성 대신 일치성 등식이 사용된다.
• 예를 들어, 동치를 가진 이중 범주인 고리와 동치 사상, 또는 전이가 있는 월드시트에서 접기는 역원 사상과의 복합에 대응한다.