[논문 리뷰] Double Hopf bifurcation in delayed reaction-diffusion systems

Yanfei Du, Ben Niu외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 11.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 28인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 노이만 경계 조건을 갖는 지연 반응-확산 시스템에서 계수-이중 허프 분기점 근처의 정규형을 계산하기 위한 엄밀한 알고리즘을 개발한다. 중심다양체 축소법과 정규형 이론을 사용한다. 주요 기여는 국소 역학을 지배하는 12종의 다릅니다. 수치적 검증을 통해 공간적으로 비균일한 주기적 궤도의 공존과 2-토러스의 붕괴를 통한 이상한 급속기의 발생을 확인한다.

ABSTRACT

Double Hopf bifurcation analysis can be used to reveal some complicated dynamical behavior in a dynamical system, such as the existence or coexistence of periodic orbits, quasi-periodic orbits, or even chaos. In this paper, an algorithm for deriving the normal form near a codimension-two double Hopf bifurcation of a reaction-diffusion system with time delay and Neumann boundary condition is rigorously established, by employing the center manifold reduction technique and the normal form method. We find that the dynamical behavior near bifurcation points are proved to be governed by twelve distinct unfolding systems. Two examples are performed to illustrate our results: for a stage-structured epidemic model, we find that double Hopf bifurcation appears when varying the diffusion rate and time delay, and two stable spatially inhomogeneous periodic oscillations are proved to coexist near the bifurcation point; in a diffusive predator-prey system, we theoretically proved that quasi-periodic orbits exist on two- or three-torus near a double Hopf bifurcation point, which will break down after slight perturbation, leaving the system a strange attractor.

연구 동기 및 목표

• 지연 반응-확산 시스템에서 노이만 경계 조건을 갖는 이중 허프 분기점 근처의 정규형을 계산하는 체계적 알고리즘을 수립하기 위해.
• 분기점 근처의 국소 역학적 행동을 12종의 다릅니다로 분류하기 위해.
• 단계 구조적 전염병 모델과 확산성 포식자-피식자 시스템이라는 두 가지 생물학적 모델을 통해 방법의 적용 가능성을 보여주기 위해.
• 모델들에서 2-토러스와 3-토러스 위의 공간적으로 비균일한 주기적 진동과 준주기적 궤도의 공존을 증명하기 위해.
• 3-토러스의 붕괴가 이상한 급속기의 발생을 이끌어내어 혼돈 행동을 암시함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 분기점 근처에서 무한차원 지연 반응-확산 시스템을 유한차원 시스템으로 축소하기 위해 중심다양체 축소법을 적용한다.
• 비선형 변환을 사용하여 역학을 단순화하기 위해 정규형 방법을 활용하여 펼침 시스템의 명시적 표현을 유도한다.
• 특히 분기 방향과 안정성 결정에 중요한 매개변수를 계산하기 위해 정규직교 푸리에 기저 분해를 사용한다.
• 정규형 계수 $ B_{11}, B_{21}, B_{13}, B_{23}, B_{2100}, B_{1011}, B_{0021}, B_{1110} $ 및 매개변수 $ \epsilon_1, \epsilon_2, b_0, c_0, d_0 $의 공식을 유도한다.
• 정규형 계수의 부호와 값, 그리고 행렬식 $ d_0 - b_0 c_0 $에 기반하여 펼침 시스템을 12종의 유형 중 하나로 분류한다.
• 포incare 단면을 사용한 수치 시뮬레이션을 통해 2-토러스와 3-토러스 위의 준주기적 해를 시각화하고 이상한 급속기의 발생을 관찰한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노이만 경계 조건을 갖는 지연 반응-확산 시스템에서 계수-이중 허프 분기점 근처의 완전한 정규형 구조는 무엇인가?
• RQ2 이러한 분기점에서 유도되는 다릅니다 역학적 펼침 시스템의 수와 그들의 정성적 행동은 무엇인가?
• RQ3 유도된 알고리즘이 현실 모델에서 여러 주기적 또는 준주기적 해의 공존을 예측할 수 있는가?
• RQ4 매개변수가 이중 허프 분기점에 도달함에 따라 발생하는 역학적 전이, 특히 토러스 형성과 붕괴는 무엇인가?
• RQ5 3-토러스의 소멸 이후 이상한 급속기가 나타나는 것을 이 방법이 탐지할 수 있는가?

주요 결과

• 이중 허프 분기점 HH는 $ r_1 = 0.6739271475 $, $ \tau = 10.4238045 $에서 확인되며, $ \omega_0^+ = 0.77444 $, $ \omega_0^- = 0.362170 $이다.
• 분기점 HH는 $ \epsilon_1 = -1 $, $ \epsilon_2 = 1 $, $ d_0 - b_0 c_0 = 0.336547 $로 인해 유형 VIa로 분류된다.
• HH 근처에서 $ \tau = 10.8 $, $ r_1 = 0.69 $일 때, 그림 6(a)에 나타낸 바와 같이 2-토러스 위의 준주기적 해가 존재한다.
• $ \tau = 10.8 $, $ r_1 = 0.71 $일 때, 그림 6(b)에 도시된 바와 같이 3-토러스 위의 준주기적 해가 나타난다.
• $ \tau = 10.8 $, $ r_1 = 0.726 $일 때, 시스템은 이상한 급속기와 혼돈 행동을 보이며, 그림 6(c)의 Poincaré 맵으로 확인된다.
• 3-토러스에서 이상한 급속기로의 전이 과정은 혼돈의 발생을 위한 Ruelle-Takens-Newhouse 시나리오를 지지한다.