[논문 리뷰] Hopf-zero bifurcation and the normal forms in reaction-diffusion systems with time delays

Qi An, Weihua Jiang|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 28.

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 시간 지연이 있는 이중 성분 반응-확산 시스템에서 정규형에 대한 명시적이고 계산 가능한 공식을 개발한다. 주로 허프-제로 분기 문제를 중심으로 하며, 터링-허프 분기의 적용을 통해 공간적으로 비균일한 정상 상태, 주기적 및 준주기적 해와 같은 가능한 안착점들을 규명함으로써, 임계 분기점 근처에서의 복잡한 시공간 역학을 체계적으로 분석할 수 있게 한다.

ABSTRACT

We study the Hopf-zero bifurcation and give a simple and explicit calculation formula of the normal forms for a general two-components system of reaction- diffusion equation with time delays. We declare that our formula can be applied to computer programming calculation. Firstly, we extend the normal forms method to Hopf-zero singularity and give an abstract expression of the normal forms as simple as possible. Secondly, we choose Turing-Hopf bifurcation, which is one of the most interesting types of the Hopf-zero bifurcation, to demonstrate the concrete algorithm and give the explicit formula. Finally, we obtain the possible attractors of the original reaction diffusion system with delays near the Turing-Hopf singularity by the further analysis of the normal forms. The possible attractors mainly include, the spatially non-homogeneous steady-state solutions, periodic solutions and quasi-periodic solutions.

연구 동기 및 목표

• 반응-확산 시스템에 시간 지연이 있는 경우 허프-제로 특이점에 대한 정규형 방법을 확장한다.
• 컴퓨터 프로그래밍에 적합한 단순하고 명시적인 정규형 공식을 유도한다.
• 유도된 정규형을 사용하여 터링-허프 분기 근처에서 발생하는 복잡한 시공간 패턴의 발생을 분석한다.
• 허프-제로 특이점 근처에서 원래 시스템의 가능한 안착점—정상 상태, 주기적 및 준주기적 해—를 규명한다.

제안 방법

• 일반적인 이중 성분 반응-확산 시스템에 시간 지연이 있는 경우에 대해 정규형의 추상적이고 단순화된 표현을 유도한다.
• 구체적인 계산 알고리즘을 보여주기 위해 이 방법을 터링-허프 분기의 경우에 특화시킨다.
• 시간 지연를 다루기 위해 중심다양체 축소와 다중 척도 분석을 사용하여 정규형 계산을 수행한다.
• 유도된 정규형을 분석하여 분기점 근처에서 원래 시스템의 정성적 행동을 규명한다.
• 수치 소프트웨어에서 구현 가능한 방법으로 설계되어 실용적 적용성을 확보한다.
• 정규형 역학의 이론적 분석을 통해 원래 시스템에서 가능한 안착점의 유형을 밝혀낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 반응-확산 시스템에 시간 지연이 있는 경우 허프-제로 분기 문제에 대해 정규형 방법을 적응시킬 수 있는가?
• RQ2 이러한 시스템에서 정규형에 대해 명시적이고 계산에 적합한 공식을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 시간 지연이 있는 반응-확산 시스템에서 터링-허프 분기 근처에서 어떤 종류의 시공간 안착점이 발생하는가?
• RQ4 시간 지연는 이러한 시스템의 분기 구조와 유도되는 역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 정규형 역학과 원래 시스템의 안착점 사이에는 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• 시간 지연가 있는 이중 성분 반응-확산 시스템에 대한 정규형에 대해 명시적이고 계산 가능한 공식을 도출하였으며, 알고리즘 구현에 적합하다.
• 이 방법은 허프-제로 특이점 근처의 역학을 성공적으로 포착하였으며, 특히 터링-허프 분기의 맥락에서 유용하다.
• 공간적으로 비균일한 정상 상태 해가 분기점 근처에서 가능한 안착점으로 나타난다.
• 허프 분기 성분으로 인해 주기적 해가 잠재적 안착점으로 규명된다.
• 허프 분기와 터링 분기의 상호작용으로 인해 준주기적 해가 발생하며, 이는 복잡한 진동 행동을 나타낸다.
• 정규형 분석을 통해 원래 시스템의 임계 특이점 근처에서의 장기적 역학의 체계적 분류가 가능해진다.