[논문 리뷰] Doubling Constructions and Tensor Product $L$-Functions: coverings of the symplectic group

Eyal Kaplan|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 03.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 120인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 m-겹 커버링의 심플렉틱군 Sp_{2n} 위의 진실된 기약 츄피달 아큐메이틱 표현 π와 GL_k의 커버링 위의 표현 τ에 대한 부분 L-함수에 대한 적분 표현을 제시한다. 이는 임의의 랭크 트위스트에 대한 이중화 방법의 확장에 기반하며, 핵심 기여는 '거의 오일러 곱'을 갖는 글로벌 항등식을 도출하고, 비분비 데이터에서 국소 적분을 명시적으로 계산하여 국소 인자에 대한 해석적 정의와 일반선형군으로의 쇠마 유형의 리프트 가능성에 기여한다.

ABSTRACT

In this work we develop an integral representation for the partial $L$-function of a pair $π imesτ$ of genuine irreducible cuspidal automorphic representations, $π$ of the $m$-fold covering of Matsumoto of the symplectic group $Sp_{2n}$, and $τ$ of a certain covering group of $GL_k$, with arbitrary $m$, $n$ and $k$. Our construction is based on the recent extension by Cai, Friedberg, Ginzburg and the author, of the classical doubling method of Piatetski-Shapiro and Rallis, from rank-$1$ twists to arbitrary rank twists. We prove a basic global identity for the integral and compute the local integrals with unramified data. Possible applications include an analytic definition of local factors for representations of covering groups, and a Shimura type lift of representations from covering groups to general linear groups.

연구 동기 및 목표

• 커버링 군의 임의의 랭크 트위스트로 고전적인 랭크-1 경우를 초월하여 이중화 방법을 일반화하기.
• Sp_{2n}의 m-겹 커버링 위의 진실된 츄피달 표현 π와 GL_k의 커버링 위의 표현 τ에 대한 쌍 (π × τ)의 부분 L-함수에 대한 적분 표현을 구축하기.
• 적분에 대한 글로벌 항등식을 증명하여 '거의 오일러 곱'의 구조를 도출하고, 비분비 국소 적분과 분비된 자리에서의 유한한 적분을 조합하기.
• 데이터가 비분비일 경우 국소 적분을 명시적으로 계산하여 국소 L-인자 정의의 기초를 마련하기.
• 적분 표현과 역정리 이론을 통해 커버링 군에서 일반선형군으로의 일반화된 쇠마 유형 리프트를 위한 기초를 다지기.

제안 방법

• 피아테츠키-샤피로와 라illis의 고전적 이중화 방법을 m-겹 커버링의 심플렉틱군과 일반선형군으로 확장하며, 유도 자료로 일반화된 스페 표현을 사용한다.
• 표준 L-함수 외의 텐서곱 L-함수에 접근하기 위해 아이젠스타인 급수에 추가적인 푸리에 계수를 적용한다.
• 메타플레틱 커버링 군 H(A) 위의 글로벌 2-코호몰로지 구조를 사용하며, η× 및 η♢_d와 같은 1-코체를 통해 명시적인 분할을 정의한다.
• 비분비 주요 시리즈 표현 IG^{(m)}(ϑ,μ) 및 IGL^{(m,r)}_d(ϑ,χ)를 사용하여 국소 성분을 모델링하고 월리커 기능을 계산한다.
• 함수 Λ[S]의 (rk,c) 형태를 도입하고, 커버링 군에 대한 캐슬먼-샬리카 공식을 활용하여 토르스 원소에서 월리커 함수의 값을 계산한다.
• 역정리 이론 프레임워크를 적용하여 글로벌 적분과 아큐메이틱 L-함수 사이의 관계를 설정하고, 유니버설 리프트의 수립을 목표로 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 진실된 츄피달 표현에 대해 높은 랭크의 커버링 군에 대한 텐서곱 L-함수를 계산하기 위해 이중화 방법을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 Sp_{2n}의 커버링 위의 π와 GL_k의 커버링 위의 τ에 대해 L(s, π × τ)의 글로벌 적분의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 비분비 자리에서 국소 적분의 명시적 형태는 무엇이며, 글로벌 설정에서 어떻게 인수분해되는가?
• RQ4 이 적분 표현을 통해 커버링 군 표현에 대한 국소 γ-, L-, ϵ-인자를 정의할 수 있는가?
• RQ5 이 구성이 역정리 이론을 통해 커버링 군에서 일반선형군으로의 일반화된 쇠마 유형 리프트를 지원하는가?

주요 결과

• 글로벌 적분은 비분비 자리에서의 국소 적분의 무한곱과 분비 또는 아르히메데스 자리에서의 유한한 적분으로 분해되는 기본 항등식을 만족한다.
• 비분비 데이터에 대한 국소 적분은 커버링 군에 대한 캐슬먼-샬리카 공식을 사용하여 명시적으로 계산되며, 사타케 매개수와 가우스 합을 포함하는 표현을 도출한다.
• 비분비 L-인자 Lϑπ,ϑτ(s, π × τ)는 표준 오일러 곱 형태로 나타나며, 표현의 사타케 매개수에 의해 결정되는 계수를 갖는다.
• 이 구성은 후속 연구에서 개발된 바와 같이, 진실된 커버링 군 표현에 대한 국소 인자(γ, L, ϵ) 정의를 위한 프레임워크를 제공한다.
• 이 방법은 커버링 군에서 일반선형군으로의 잠재적 유니버설 리프트를 지원하며, m=2인 경우에 트레이스 공식에 의존하지 않고도 쇠마 리프트를 독립적으로 복원할 가능성도 있다.
• 함수 (rk,c)와 월리커 모델의 사용은 커버링 군 설정에서 푸리에 계수와 함수방정식의 체계적인 계산을 가능하게 한다.