[논문 리뷰] Doubling constructions: Global functoriality for non-generic cuspidal representations

Yuanqing Cai, Solomon Friedberg외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 07.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 135인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 듀얼링 방법을 통해 분할 클래식 및 일반 스피너 군의 비유비적 최대단순자기형 자동형 표현에 대한 전지역 함자성(global functoriality)을 확립하며, 매우 높은 램프리프트된 히케 캐릭터를 갖는 완비 L-함수는 전체임을 증명한다. 이와 더불어, 역정리(Converse Theorem)를 결합함으로써 기존의 추적 공식(trace formula)에 의존하지 않는 새로운 방식으로 GLN로의 약한 함자성 전이(weak functorial transfer)를 증명한다. 이는 이전 결과를 유비적 케이스를 초월하여 확장한다.

ABSTRACT

We study the generalized doubling method for pairs of representations of $G imes GL_k$ where $G$ is a symplectic group, split special orthogonal group or split general spin group. We analyze the poles of the local integrals, and prove that the global completed $L$-function with a cuspidal representation of $GL_k$ twisted by a highly ramified Hecke character is entire. We obtain a new proof of the weak functorial transfer of cuspidal automorphic representations of $G$ to the natural general linear group, which is independent of the trace formula and its prerequisites, by combining our results with the Converse Theorem.

연구 동기 및 목표

• 분할 심플렉틱, 특수 직교 및 일반 스피너 군의 비유비적 최대단순자기형 자동형 표현에 대한 전지역 함자성을 확립하는 것.
• GLk의 최대단순자기형 표현이 매우 높은 램프리프트된 히케 캐릭터로 스위치된 완비 L-함수가 전체임을 증명하는 것.
• 클래식 및 일반 스피너 군에서 GLN으로의 약한 함자성 전이에 대한 새로운, 추적 공식에 의존하지 않는 증명을 제공하는 것.
• 비틀린 γ-인자(twisted γ-factors)를 사용하여 G(Fν)의 국소 표현에서 GLN(Fν)로의 '粗역전이(coarse transfer)'를 정의하고 분석하는 것.
• 모든 약한 함자성 전이의 초초순지지(supercuspidal support)가 유한한 자리에서의 국소 표현에 의해 결정됨을 보이는 것.

제안 방법

• G(A) × GLk(A) 위의 자동형 형식과 관련된 전역 적분을 일반화된 듀얼링 방법을 통해 구성하는 것.
• 비틀린 γ-인자를 사용하여 국소 적분의 극을 분석하고 전역 L-함수의 해석적 계속성을 확립하는 것.
• 비판적 구역 내에 극이 없음을 보여줌으로써 매우 높은 램프리프트된 히케 캐릭터를 갖는 완비 L-함수가 전체임을 증명하는 것.
• 역정리를 적용하여 L-함수의 해석적 성질과 특정 적분의 비영성(non-vanishing)으로부터 전역 함자성을 유도하는 것.
• 아르히메데스 및 비아르히메데스 체 위에서 연속성과 절대수렴 성질을 이용하여 적분의 해석적 성질을 확립하는 것.
• 비틀린 γ-인자를 통한 국소 수준에서의 '粗역전이'를 정의하고, 전역 약한 함자성 전이와 국소 표현 이론을 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분할 클래식 및 일반 스피너 군의 비유비적 최대단순자기형 자동형 표현에서 GLN으로의 약한 함자성 전이를 추적 공식에 의존하지 않고 확립할 수 있는가?
• RQ2 GLk의 최대단순자기형 표현이 매우 높은 램프리프트된 히케 캐릭터로 스위치된 경우, 완비 L-함수의 해석적 성질은 어떠한가?
• RQ3 비틀린 γ-인자를 통해 정의된 국소 '粗역전이'는 전역 약한 함자성 전이와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 전역 약한 함자성 전이의 초초순지지가 거의 모든 유한한 자리에서의 국소 표현에 의해 유일하게 결정되는가?
• RQ5 역정리를 사용하여 듀얼링 방법과 L-함수의 해석적 성질을 바탕으로 전역 함자성을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• τ가 매우 높은 램프리프트된 히케 캐릭터로 스위치된 GLk의 최대단순자기형 표현일 때, 완비 L-함수 L(s, π × τ)는 전체이다.
• G(A)에서 GLN(A)로의 전역 약한 함자성 전이가 존재하며, 이는 추적 공식 및 그 전제 조건에 의존하지 않는다.
• 비틀린 γ-인자를 통해 G(Fν)의 국소 표현에서 GLN(Fν)로의 '粗역전이'가 정의되며, 항상 존재한다.
• π의 어떤 약한 함자성 전이 Π에 대해, 모든 유한한 자리 ν에서 Πν의 초초순지지는 πν에 의해 결정된다.
• 행렬 계수 ω와 워이터링 기능 W의 적절한 선택에 대해 적분 Z(s, ω, W)/L(s, π × τ)는 비영이거나(가능성 있음 극을 가질 수 있음) 비영임을 보장하여, 역정리에 필요한 비영성 조건을 충족시킨다.
• 이 방법은 전역 L-함수가 해석적 계속성을 가지며, 역정리를 통한 함자성의 유도에 충분한 해석적 성질을 갖는다는 것을 입증한다.