[논문 리뷰] Drinfeld modular forms of arbitrary rank, Part III: Examples

Dirk Basson, Florian Breuer외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 31.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 14인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 임의의 랭크에 대한 드린펠트 모듈러 형식의 명시적 예를 구성하고 연구하며, 아이zenstein 급수, 계수 형식, 디스criminant 형식에 중점을 둔다. $ A = \mathbb{F}_q[t] $인 경우, $ \mathrm{GL}_r(A) $ 및 $ \mathrm{SL}_r(A) $에 대한 모든 모듈러 형식이 계수 형식과 디스criminant 형식에 의해 생성됨을 증명하고, 다양한 수준과 차수에 대한 모듈러 형식 공간의 정확한 차원 공식을 제공한다.

ABSTRACT

This is the third part of a series of articles providing a foundation for the theory of Drinfeld modular forms of arbitrary rank. In the present article we construct and study some examples of Drinfeld modular forms. In particular we define Eisenstein series, as well as the action of Hecke operators upon them, coefficient forms and discriminant forms. In the special case A=F_q[t] we show that all modular forms for GL_r(Γ(t)) are generated by certain weight one Eisenstein series, and all modular forms for GL_r(A) and SL_r(A) are generated by certain coefficient forms and discriminant forms. We also compute the dimensions of the spaces of such modular forms.

연구 동기 및 목표

• 임의의 랭크에 대한 드린펠트 모듈러 형식의 명시적 가족을 구성하고 분석하는 것, 특히 아이젠슈타인 급수, 계수 형식, 디스criminant 형식을 포함한다.
• 특수한 경우 $ A = \mathbb{F}_q[t] $에서 $ \mathrm{GL}_r(A) $ 및 $ \mathrm{SL}_r(A) $에 대한 모듈러 형식의 환의 구조를 규명하는 것.
• 다양한 교차 하위군, 예를 들어 $ \Gamma(t) $, $ \Gamma_1(t) $, 및 $ \mathrm{GL}_r(A) $에 대한 모듈러 형식 공간의 차원을 계산하는 것.
• 크립스 형식이 단일 디스criminant 형식 $ \Delta_t^L $에 의해 생성됨을 증명하고, 히케 연산자에 대한 고형식 성질을 입증하는 것.

제안 방법

• 교차 하위군 $ \Gamma_{v+L} $에 대해 차수 1의 아이젠슈타인 급수 $ E_{1,v+L} $를 구성하고, 그가 심문에서의 영점의 차수를 계산한다.
• 여러 코셋의 대표자를 사용하여, 그들의 차수 성질을 활용해 계수 형식과 디스criminant 형식 $ \delta_t^L $를 곱으로 정의한다.
• 모듈러 형식의 랭크 $ r $과 $ r-1 $ 간의 관계를 설정하기 위해 $ u $-전개 기법을 적용하여, 재귀적 분석을 가능하게 한다.
• 히케 연산자가 아이젠슈타인 급수에 작용하는 방식을 이용해 고형식 성질과 푸리에 계수의 정수성에 대한 추론을 한다.
• 결과 [PS14] 및 [Na00]을 적용하여, $ \{q-1, q^2-1, \dots, q^r-1\} $에 속하는 부분을 가진 분할 함수를 통해 차원 공식을 유도한다.
• 군론적 불변량과 교차 하위군 이론을 활용하여 $ \Gamma(t) $, $ \Gamma_1(t) $, 및 $ \mathrm{GL}_r(A) $ 간의 관계를 규명하고, 지수 관계를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈러 형식의 환의 구조는 $ \mathrm{GL}_r(\mathbb{F}_q[t]) $ 및 $ \mathrm{SL}_r(\mathbb{F}_q[t]) $에 대해 생성자에 대해 어떻게 기술될 수 있는가?
• RQ2 차수 $ k $와 수준 $ \Gamma(t) $, $ \Gamma_1(t) $, $ \mathrm{GL}_r(A) $에 대한 모듈러 형식 공간의 차원은 $ k $와 $ r $에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 디스criminant 형식 $ \Delta_t^L $는 모든 히케 연산자에 대해 고형식인가? 그리고 크립스 형식 공간을 생성하는 데서 그 역할은 무엇인가?
• RQ4 모듈러 형식의 $ u $-전개와 그 계수의 재귀적 구조 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 모듈러 형식의 환은 $ \mathrm{GL}_r(A) $에 대해 코hen-맥컬레이언인가? 이 성질은 다른 교차 하위군으로도 확장되는가?

주요 결과

• 모듈러 형식이 $ A = \mathbb{F}_q[t] $일 때, $ \mathrm{GL}_r(A) $에 대해 모든 모듈러 형식은 특정한 계수 형식과 디스criminant 형식 $ \Delta_t^L $에 의해 생성되며, $ \mathrm{GL}_r(\Gamma(t)) $에 대해 모든 모듈러 형식은 차수 1의 아이젠슈타인 급수에 의해 생성된다.
• $ \mathcal{S}_k(\mathrm{GL}_r(A)) $의 크립스 형식 공간은 $ k < q^r - 1 $일 때 0차원이며, $ k = q^r - 1 $일 때 기저가 $ \Delta_t^L $인 1차원이다.
• $ \mathcal{M}_k(\Gamma(t)) $의 차원은 $ \sum_{i_1,\dots,i_{r-1} \in \{0,1\}} q^{\sum \nu \cdot i_\nu} \binom{k}{\sum i_\nu} $로 주어지며, 이는 가중 분할을 세는 것을 의미한다.
• $ \mathcal{M}_k(\mathrm{GL}_r(A)) $의 차원은 $ \{q-1, q^2-1, \dots, q^r-1\} $에 속하는 부분을 가진 $ k $의 분할 수와 같으며, $ q-1 \mid k $일 때 점점 커지는 비율은 $ \frac{1}{\prod_{i=2}^r (q^i - 1)} \cdot \frac{k^{r-1}}{(r-1)!} $이다.
• $ \mathcal{M}_k(\Gamma_1(t)) $의 차원은 $ \binom{k-1}{r-1} $이며, 이는 $ k $를 $ r $개의 양의 정수로 나누는 분할의 수에 해당한다.
• $ \Delta_t^L $는 모든 이중 코셋 $ \mathrm{GL}_r(A) \delta \mathrm{GL}_r(A) $에 관련된 히케 연산자에 대해 고형식이며, $ \mathcal{M}_*(\mathrm{GL}_r(A)) $ 내의 크립스 형식의 이상을 생성한다.