[논문 리뷰] Dual Banach spaces which contain an isometric copy of $L_1$

S. J. Dilworth, Maria Girardi외 1명|ArXiv.org|2000. 04. 27.

Advanced Banach Space TheoryMathematics참고 문헌 7인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간이 점점 더 이상의 등장하는 $∞_1$의 등장하는 등거리 복사본을 포함할 때와 그 쌍대 공간이 $L_1$의 등거리 복사본을 포함할 때 사이의 정확한 이중성을 확립한다. 주요 결과는 $X$가 $∞_1$의 점점 더 이상의 등거리 복사본을 포함하는 것과 $X^*$가 $L_1$을 등거리로 포함하는 것이 동치임을 보여주며, 바나흐 공간 이론에서 오랫동안 남아있던 이중성 문제를 해결한다. 이는 고정점 이론과 $∞_1$의 재노름화에 대한 함의를 지닌다.

ABSTRACT

A Banach space contains asymptotically isometric copies of $\ell_1$ if and only if its dual space contains an isometric copy of $L_1$.

연구 동기 및 목표

• 바나흐 공간 $X$에 점점 더 이상의 등거리 복사본이 존재하는 것과 그 쌍대 공간 $X^*$에 $L_1$의 등거리 복사본이 존재하는 것 사이의 정확한 이중성을 확립한다.
• 바나흐 공간 $X$에 $∞_1$의 점점 더 이상의 등거리 임베딩이 존재할 경우 쌍대 공간 $X^*$에 $L_1$의 등거리 임베딩이 존재하는지 여부에 대한 오랜 동안 미해결이었던 문제를 해결하며, 이들의 동치성을 확인한다.
• 이러한 등거리 임베딩이 $∞_1$의 재노름화 및 쌍대 공간의 약한 컴팩트 볼록 집합에서 고정점이 없는 등거리 변환의 존재에 미치는 구조적 함의를 조사한다.
• 등거리 복사본이 존재하는 조건을 $∞_1$-유형 수열의 몫과 변형 구조를 통해 특징지어, 쌍대 공간이 $L_1$을 등거리로 포함하는지 여부를 규명한다.
• 피체시니스키와 하글러의 이전 결과를 일반화하여, 쌍대 공간에서 $∞_1$-유사 구조와 $L_1$-유사 구조 사이의 이중성을 확장한다.

제안 방법

• 논문은 수열 $ (x_n) $가 $ (1 - \varepsilon_n) \sum |a_n| \leq \left\| \sum a_n x_n \right\| \leq \sum |a_n| $ 를 만족하며, $ (\varepsilon_n) $ 이 0으로 수렴하는 수열일 때, $X$에서 $∞_1$의 점점 더 이상의 등거리 복사본을 정의한다. 이는 尾 추정과 변형에 기반한 등가 표현을 포함한다.
• 등거리 복사본의 $ (1+\varepsilon_n) $-변형을 사용하여 점점 더 이상의 등거리 임베딩을 특징짓는다. 여기서 $ \varepsilon_n \to 0 $ 이다.
• 이중성 이론을 적용한다: $ X^* $가 $L_1$을 등거리로 포함하는 것과 $X$가 $∞_1$에 등거리 몫공간을 갖는 것은 동치이며, 몫 사상과 여집합을 통해 증명한다.
• 구체적인 $∞_1$의 재노름화를 구성한다: $ \| (a_n) \|_{1}^{\prime} = \inf \left\{ \left[ \| (a_n + b_n) \|_1^2 + \| (\gamma_n^{-1} b_n) \|_2^2 \right]^{1/2} \right\} $, 조건은 $ \| (\gamma_n) \|_2 < \varepsilon $ 이다. 이 공간이 점점 더 이상의 등거리 복사본을 포함하지 않는다는 것을 증명한다.
• 등거리 몫사상과 쌍대 공간의 등거리 임베딩 사이의 이중성을 적용한다. $ T $가 등거리 몫사상이면 $ T^* $는 등거리 임베딩임을 보여준다.
• 만약 $ X^* $가 $L_1$을 등거리로 포함한다면, $X$는 점점 더 이상의 등거리 조건을 만족하는 수열을 가져야 하며, 반대로도 마찬가지로 이중성과 몫공간 구성에 의해 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 바나흐 공간 $X$에 점점 더 이상의 등거리 복사본이 존재하면, 그 쌍대 공간 $X^*$는 반드시 $L_1$의 등거리 복사본을 포함하는가?
• RQ2 역으로, $X^*$가 $L_1$을 등거리로 포함하면, $X$는 반드시 점점 더 이상의 등거리 복사본을 포함하는가?
• RQ3 쌍대 공간에서 $∞_1$-유사 구조와 $L_1$-유사 구조 사이의 이중성은 등거리로도 가능할 수 있는가? (단지 등장 또는 거의 등거리가 아니라)
• RQ4 점점 더 이상의 등거리 복사본을 포함하지 않는 $∞_1$의 재노름화는 존재하는가? 어떤 구조적 조건이 이를 방지하는가?
• RQ5 $X^*$에 $L_1$의 등거리 복사본이 존재하면, $X^*$의 약한 컴팩트 볼록 부분집합에서 고정점이 없는 등거리 변환이 존재하는가?

주요 결과

• 주요 결과는 완전한 이중성을 확립한다: 바나흐 공간 $X$가 점점 더 이상의 등거리 복사본을 포함하는 것과 그 쌍대 공간 $X^*$가 $L_1$을 등거리로 포함하는 것은 동치이다.
• 명시적인 $∞_1$의 재노름화를 구성한다: $ \| (a_n) \|_{1}^{\prime} = \inf \left\{ \left[ \| (a_n + b_n) \|_1^2 + \| (\gamma_n^{-1} b_n) \|_2^2 \right]^{1/2} \right\} $, 조건은 $ \| (\gamma_n) \|_2 < \varepsilon $ 이며, 이 공간은 점점 더 이상의 등거리 복사본을 포함하지 않는다.
• 이 재노름화된 $∞_1$ 공간의 쌍대 공간은 $ (\ell_\infty, \| \cdot \|_\infty') $ 와 등거리이며, $ \| (c_n) \|_\infty' = \left[ \| (c_n) \|_\infty^2 + \| (\gamma_n c_n) \|_2^2 \right]^{1/2} $ 이다. 이 공간은 $L_1$의 등거리 복사본을 포함하지 않는다.
• 쌍대 공간이 $L_1$을 등거리로 포함하지 않기 때문에, 정리 2에 의해 재노름화된 $∞_1$ 공간은 점점 더 이상의 등거리 복사본을 포함하지 않으며, 이는 이중성의 날카로움을 확인한다.
• 등거리 몫사상 $X$에서 $∞_1$로 존재하는 것과 $X^*$가 $L_1$을 등거리로 포함하는 것은 동치이며, 이는 몫 구조와 쌍대 공간의 임베딩을 연결한다.
• 앨스파치의 $L_1$에서 약한 컴팩트 볼록 집합에서 고정점이 없는 등거리 변환의 예는, $X^*$가 $L_1$을 등거리로 포함하면 $X^*$가 이러한 변환을 지닌다는 것을 의미하며, 고정점이 없는 등거리 변환의 존재에 대한 새로운 결과를 이끌어낸다.