[논문 리뷰] Dynamic programming approach to principal-agent problems

Jakša Cvitanić, Dylan Possamaï외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 24.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 53인용 수 111

한 줄 요약

이 논문은 종료 시 일시금 계약을 포함한 일반적인 연속시간 제도-에이전트 문제를 해결하기 위한 동적 프로그래밍 접근법을 개발한다. 이는 에이전트가 수익의 추세와 변동성을 모두 통제하는 경우에도 적용 가능하다. 저자들은 에이전트의 가치 함수에 대한 동적 프로그래밍 표현을 허용하는 계약으로 제한함으로써, 비영점합 비제로합 스토크라스틱 게임을 해결 가능한 스토크라스틱 제어 문제로 축소한다. 이 제약 조건이 최적성의 손실을 초래하지 않는다는 것을 증명한다. 주요 기여는 제2형 후방 확률미분방정식(2BSDEs)을 사용하여 비마르코프, 변동성 제어 설정에 적용 가능한 체계적인 방법을 제공한다는 점이다.

ABSTRACT

We consider a general formulation of the Principal-Agent problem with a lump-sum payment on a finite horizon, providing a systematic method for solving such problems. Our approach is the following: we first find the contract that is optimal among those for which the agent's value process allows a dynamic programming representation, for which the agent's optimal effort is straightforward to find. We then show that the optimization over the restricted family of contracts represents no loss of generality. As a consequence, we have reduced this non-zero sum stochastic differential game to a stochastic control problem which may be addressed by the standard tools of control theory. Our proofs rely on the backward stochastic differential equations approach to non-Markovian stochastic control, and more specifically, on the recent extensions to the second order case.

연구 동기 및 목표

• 연속시간에서 일시금 지급이 수반되는 일반적인 제도-에이전트 문제를 다루며, 특히 에이전트가 수익의 추세와 변동성을 모두 통제하는 경우를 포함한다.
• 도덕적 해고 상황에서 비마르코프, 비영점합 스토크라스틱 제어 문제를 해결하는 데 어려움을 극복한다.
• 복잡한 계약 설계 문제를 표준 스토크라스틱 제어 프레임워크로 축소하는 체계적인 방법을 제공한다.
• 에이전트의 가치 함수에 대한 동적 프로그래밍 표현을 허용하는 계약으로 제한함으로써 최적성의 손실이 발생하지 않는다는 것을 보여준다.

제안 방법

• 에이전트의 가치 과정이 동적 프로그래밍 표현을 가질 수 있는 계약의 제한된 가족을 도입한다.
• 비마르코프 설정에서 에이전트의 가치 과정을 기술하기 위해 제2형 후방 확률미분방정식(2BSDEs)을 사용한다.
• 이 제한된 클래스에 대해 에이전트의 최적화 문제에 힘-존슨-벨만(HJB) 방정식 프레임워크를 적용한다.
• 에이전트의 최적 노력 수준를 해밀토니안의 최대화자로 식별하기 위해 1차 조건을 유도한다.
• 이 제한된 클래스에서 제도의 기대 효용의 Supremum이 전역 Supremum과 일치함을 증명하여 최적성의 손실이 없음을 보장한다.
• 변동성 제어로 인해 발생하는 비지배 측도를 다루기 위해 최근의 2BSDE 결과와 정규성 우회 기법을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에이전트가 수익의 추세와 변동성을 모두 통제하는 연속시간 제도-에이전트 문제를 체계적으로 해결할 수 있는 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 에이전트의 가치 함수에 대한 동적 프로그래밍 표현을 허용하는 계약으로 제한할 경우, 계약 설계 문제에서 최적성의 손실이 발생하는가?
• RQ3 비마르코프, 변동성 제어 설정에서 제도의 최적화 문제를 표준 스토크라스틱 제어 문제로 축소할 수 있는가?
• RQ4 수익과 그 제곱변동성에 대한 1차 및 2차 민감도는 최적 계약을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 접근법은 마르코프 가정 없이 일반적인 효용 함수와 다차원 수익 과정으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 최적 계약은 HJB 방정식에서 유도된 스토크라스틱 제어 문제를 풀어 특성화되며, 여기서 에이전트의 최적 노력 수준는 해밀토니안의 최대화자로 결정된다.
• 이 방법은 제2형 후방 확률미분방정식(2BSDEs) 기반으로 일반적인 효용 함수와 다차원 모델에 적용 가능하며, 이는 이전의 CARA 및 선형 모델을 초월한다.
• 약간의 기술적 조건 하에서, 에이전트의 가치 함수에 대한 동적 프로그래밍 표현을 허용하는 계약으로 제한하는 것은 최적성의 손실을 초래하지 않는다.
• 에이전트의 가치 과정은 제2형 후방 확률미분방정식(2BSDEs)로 표현되어 비마르코프, 변동성 제어 문제의 분석이 가능해진다.
• 특수한 경우로 CARA 선호도와 선형 수익 역학이 적용될 경우, 최적 계약은 종료 시 수익과 그 제곱변동성에 모두 의존하며, 이는 이전의 선형 계약을 일반화한다.
• 이 방법은 도덕적 해고가 없는 상황에서 알려진 최적 위험 공유 계약을 복원하며, 최적 계약이 inccentive 정렬을 통해 최초의 최적 결과를 재현할 수 있음을 보여준다.