[논문 리뷰] Dynamical canonical heights for Jordan blocks, arithmetic degrees of orbits, and nef canonical heights on abelian varieties

Shu Kawaguchi, Joseph H. Silverman|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 21.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전역체 위의 정규 프로젝티브 다양체의 Picard 군에서 기약형 블록의 동역학적 캐논리컬 높이 이론을 일반화한다. 이러한 높이의 존재성과 함수방정식을 확립하며, 궤도의 산술도가 존재하고, 대수적 정수이며, 유한한 값을 갖는다는 것을 증명한다. 아벨 다양체의 경우, 네프 캐논리컬 높이가 0인 점을 특성화하고, 자리지-밀도 궤도가 동역학적 차수를 도달함을 증명한다.

ABSTRACT

Let f : X --> X be an endomorphism of a normal projective variety defined over a global field K, and let D_0,D_1,D_2,... be divisor classes that form a Jordan block with eigenvalue b for the action of f^* on Pic(X) tensored with C. We construct appropriately normalized canonical heights h_0,h_1,h_2,... associated to D_0,D_1,D_2,... and satisfying Jordan transformation formulas h_k(f(x)) = b h_k(x) + h_{k-1}(x). As an application, we prove that for every x in X, the arithmetic degree a_f(x) exists, is an algebraic integer, and takes on only finitely many values as x varies over X. Further, if X is an abelian variety defined over a number field and D is a nonzero nef divisor, we characterize points satisfying h_D(x)=0, and we use this characterization to prove that if the f-orbit of x is Zariski dense in X, then a_f(x) is equal to the dynamical degree of f.

연구 동기 및 목표

• 끝형형사상에 의한 정수환의 분해에서 블록을 형성하는 디바이저에 대해 고전적인 동역학적 캐논리컬 높이 이론을 확장한다.
• 정규 프로젝티브 다양체에서 궤도의 산술도에 관한 추측의 첫 세 부분을 해결한다.
• 아벨 다양체에서 네프 캐논리컬 높이가 0인 점을 특성화하고, 이와 궤도의 역학적 성질을 연관시킨다.
• 자리지-밀도 궤도를 가진 아벨 다양체에서 산술도가 동역학적 차수와 같다는 것을 증명한다.

제안 방법

• 기약형 블록의 구조를 지닌 $ \operatorname{Pic}(X) \otimes \mathbb{C} $ 에서 $ \hat{h}_{D_k} \circ f = \lambda \hat{h}_{D_k} + \hat{h}_{D_{k-1}} $ 를 만족하는 캐논리컬 높이 함수 $ \hat{h}_{D_k} $ 를 구성한다.
• 이항계수와 $ \lambda $ 의 역거듭제곱을 사용하여 캐논리컬 높이의 재귀적 극한 공식을 유도한다.
• 웨일 높이 이론과 테이트 극한을 이용하여 궤도 성장의 점근적 행동을 정의하고 분석한다.
• 일반화된 캐논리컬 높이를 적용하여 산술도의 수렴성과 대수성 증명한다.
• 아벨 다양체에서 네프 디바이저에 대한 캐논리컬 높이의 이차부분의 핵을 특성화한다.
• 이소지니의 경우, 점의 산술도가 동역학적 차수와 같아지기 위한 필요충분조건은 궤도가 자리지-밀도임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모르피즘 $ f: X \to X $ 에서 모든 점 $ x \in X(\bar{K}) $ 에 대해 산술도 $ \alpha_f(x) $ 가 존재하고, 대수적 정수인가?
• RQ2 모든 점 $ x \in X(\bar{K}) $ 에 대해 산술도의 집합 $ \{ \alpha_f(x) \} $ 는 유한한 값을 갖는가?
• RQ3 아벨 다양체에서 네프 디바이저에 대한 캐논리컬 높이가 정확히 올바른 아벨 부분다양체와 토르션 점들에서만 0이 되는가?
• RQ4 자리지-밀도 전방 궤도를 가진 점의 산술도가 사상의 동역학적 차수와 같은가?
• RQ5 고전적인 캐논리컬 높이 이론을 Picard 군 내의 기약형 블록에 대해 어떻게 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $ x \in X(\bar{K}) $ 에 대해 산술도 $ \alpha_f(x) $ 가 존재하며, 대수적 정수이며, 이러한 값들의 집합은 유한하다.
• 기약형 블록에 대한 캐논리컬 높이 함수 $ \hat{h}_{D_k} $ 는 $ \hat{h}_{D_k} \circ f = \lambda \hat{h}_{D_k} + \hat{h}_{D_{k-1}} $ 를 만족하고, 정규화 조건 $ \hat{h}_{D_k} = h_{D_k} + O(1) $ 에 의해 유일하게 결정된다.
• 수체 위의 아벨 다양체에서 $ \hat{h}_D(x) = 0 $ 이 되는 것은 $ x \in B_D(\bar{\mathbb{Q}}) + A(\bar{\mathbb{Q}})_{\text{tors}} $ 와 동치이며, 여기서 $ B_D \subsetneq A $ 는 올바른 아벨 부분다양체이다.
• 만약 점 $ x $ 의 $ f $-궤도가 아벨 다양체에서 자리지-밀도이면, $ \alpha_f(x) = \delta_f $, 즉 사상의 동역학적 차수와 같다.
• CM 아벨 다양체에서 네프 디바이저 $ D $ 와 관련된 캐논리컬 높이 $ \hat{h}_{A,D}(x) $ 는 선형사상 $ x \mapsto (\sqrt{m} + \sigma)(x) $ 의 핵에서 정확히 0이 되며, 이 핵은 $ x $ 가 유리수이면 오직 토르션 점들만 포함한다.
• 점 $ x $ 에 대해 $ \hat{h}_D(x) > 0 $ 이면 산술도는 $ \alpha_f(x) \geq \delta_f $ 를 만족하며, 궤도가 자리지-밀도이면 등호가 성립한다.