[논문 리뷰] Dynamics Compensation in Observation of Abstract Linear Systems

Hongyinping Feng, Xiaohui Wu외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 03.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 선형 시스템에서 센서 동역학 보정 및 출력 조정 문제를 해결하기 위해 추상 계단형 시스템을 위한 통합 관측기 설계 프레임워크를 제안한다. 두 문제를 힐버트 공간에서 정의된 추상 선형 진화 방정식에 의해 지배되는 계단형 시스템의 공통 구조로 재구성하고, 조정 가능한 이득 연산자를 갖는 루엔버거 유사 관측기를 사용함으로써, 목표 시스템 설계나 리아푸노프 함수 구축 없이도 관측 오차의 지수 수렴을 보장한다. 이는 시간 지연이 있는 상미분방정식과 ODE 센서 동역학을 갖는 불안정한 열 방정식을 통해 검증되었다.

ABSTRACT

This is the second part of four series papers, aiming at the problem of sensor dynamics compensation for abstract linear systems. Two major issues are addressed. The first one is about the sensor dynamics compensation in system observation and the second one is on the disturbance dynamics compensation in output regulation for linear system. Both of them can be described by the problem of state observation for an abstract cascade system. We consider these two apparently different problems from the same abstract linear system point of view. A new scheme of the observer design for the abstract cascade system is developed and the exponential convergence of the observation error is established. It is shown that the error based observer design in the problem of output regulation can be converted into a sensor dynamics compensation problem by the well known regulator equations. As a result, a tracking error based observer for output regulation problem is designed by exploiting the developed method. As applications, the ordinary differential equations (ODEs) with output time-delay and an unstable heat equation with ODE sensor dynamics are fully investigated to validate the theoretical results. The numerical simulations for the unstable heat system are carried out to validate the proposed method visually.

연구 동기 및 목표

• 추상 선형 시스템에서 간접 시스템 관측을 위한 센서 동역학 보정 문제를 다루기 위해.
• 통합 관측기 프레임워크를 사용하여 출력 조정 문제에서 외란 동역학 보정 문제를 해결하기 위해.
• ODE 및 PDE 시스템 모두에 적용 가능한 체계적이고 일반적인 목적의 관측기 설계 방법을 개발하기 위해.
• PDE 백스텝핑에서 흔히 발생하는 목표 시스템 선택 및 리아푸노프 함수 구축에 의존하지 않기 위해.
• 유한 차원 시스템(시간 지연 포함)과 무한 차원의 불안정한 열 방정식에서 방법을 검증하기 위해.

제안 방법

• 힐버트 공간에서 정의된 추상 선형 진화 방정식에 의해 지배되는 계단형 시스템으로 센서 동역학 및 출력 조정 문제를 수식화하기 위해.
• 지연되거나 간접적인 측정에서 전체 상태를 추정하기 위해 조정 가능한 이득 연산자 F₁ 및 F₂를 갖는 루엔버거 유사 관측기를 도입하기 위해.
• 스펙트럼 분석과 조절자 방정식에 의한 가역 변환을 통해 관측 오차의 잘 정의됨과 지수 수렴성을 확립하기 위해.
• 조절자 방정식을 사용하여 추적 오차 기반 관측기 설계를 센서 동역학 보정 문제로 변환함으로써 통합 처리를 가능하게 하기 위해.
• 유한 차분 공간 이산화를 사용하여 시간 지연이 있는 ODE와 ODE 센서 동역학을 갖는 불안정한 열 방정식에 대해 방법을 적용하고, 수치적 검증을 수행하기 위해.
• 유한 차원 사영의 관측 가능성과 무한 차원 부분계통의 탐지 가능성에 의해 관측기 이득 존재 조건을 기술하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 센서 동역학 보정과 출력 조정은 단일 추상 계단형 시스템 관측 문제의 사례로 간주될 수 있는가?
• RQ2 사전에 목표 시스템 선택이 필요 없이 추상 계단형 시스템에 대해 루엔버거 유사 관측기를 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ3 이러한 시스템에서 관측 오차의 지수 수렴을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 이 방법은 ODE 센서 동역학과 무한 차원 식물(예: 불안정한 열 방정식)을 갖는 시스템에 적용될 수 있는가?
• RQ5 조절자 방정식은 출력 조정과 센서 동역학 보정을 위한 관측기 설계를 어떻게 통합하는가?

주요 결과

• 제안된 관측기 설계는 스펙트럼 분석과 가역 변환을 통해 추상 계단형 시스템에서 관측 오차의 지수 수렴을 보장함을 증명하였다.
• 이 방법은 목표 시스템 구축과 리아푸노프 함수 유도가 필요 없음을 보여주며, PDE 백스텝핑 방법에 대한 대안을 제공한다.
• ODE 센서 동역학을 갖는 불안정한 열 방정식에 대해 관측기 이득을 성공적으로 계산하였고, 수치 시뮬레이션을 통해 상태 및 출력 추정 오차의 매끄럽고 효과적인 수렴을 확인하였다.
• 시스템의 유한 차원 근사(N=1)는 관측 가능하였고, 허위츠 이득 행렬이 확보되어 오차 동역학의 안정성을 보장하였다.
• 조절자 방정식에 의한 변환은 출력 조정 문제를 센서 동역학 보정 문제로 성공적으로 연결하였으며, 통합 관측기 설계를 가능하게 하였다.
• 시간 간격 4×10⁻⁵와 공간 간격 10⁻²로 얻은 수치 결과는 상태 및 출력 추정 오차의 효과적이고 매끄러운 수렴을 보여주었다.