[논문 리뷰] Dynamics of Rogue Waves in the Partially PT-symmetric Nonlocal Davey-Stewartson Systems

Bo Yang, Yong Chen|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 19.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 32인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 다르부 변환 방법을 사용하여 부분적으로 PT-대칭 비국소 디브리-스튜어트슨 시스템에서 일반적인 도발파 솔루션을 유도한다. 이는 기본 도발파가 일정 배경에서 기인하며, 공간에서 전체 쌍곡선 위에서 유한 시간 내에 특이점을 형성하는 것으로 드러나며, 다중 도발파 및 새로운 하이브리드 패턴 파동은 어두움/반다크 라이노멀 파동과의 상호작용으로 나타나며, 국소 시스템과는 다를 바 있는 새로운 역학을 제공한다.

ABSTRACT

In this work, we study the dynamics of rogue waves in the partially $\cal{PT}$-symmetric nonlocal Davey-Stewartson(DS) systems. Using the Darboux transformation method, general rogue waves in the partially $\cal{PT}$-symmetric nonlocal DS equations are derived. For the partially $\cal{PT}$-symmetric nonlocal DS-I equation, the solutions are obtained and expressed in term of determinants. For the partially $\cal{PT}$-symmetric DS-II equation, the solutions are represented as quasi-Gram determinants. It is shown that the fundamental rogue waves in these two systems are rational solutions which arises from a constant background at $t ightarrow -\infty$, and develops finite-time singularity on an entire hyperbola in the spatial plane at the critical time. It is also shown that the interaction of several fundamental rogue waves is described by the multi rogue waves. And the interaction of fundamental rogue waves with dark and anti-dark rational travelling waves generates the novel hybrid-pattern waves. However, no high-order rogue waves are found in this partially $\cal{PT}$-symmetric nonlocal DS systems. Instead, it can produce some high-order travelling waves from the high-order rational solutions.

연구 동기 및 목표

• 균형 잡힌 증가 및 감소를 가진 비국소적 비선형 모델로 확장된 통합 가능한 비선형 모델을 고려하여, 부분적으로 PT-대칭 비국소 디브리-스튜어트슨 시스템에서 도발파 역학을 조사하는 것.
• 이러한 비국소 시스템에서 고차 도발파가 존재하는지 확인하고, 국소 및 비국소 DS 방정식에서 알려진 해들과 대조하는 것.
• 기본 도발파와 유리한 이동 파동 간의 상호작용을 통해 하이브리드 패턴 파동이 어떻게 나타나는지 탐색하는 것.
• 특히 특이점 행동과 시간 진화에 관하여, 비국소적 시스템과 국소적 DS 시스템 간의 도발파의 매개변수 조건과 구조적 성질을 비교하는 것.
• 변수 변환을 통해 악조건의 비국소적 해와 잘 정의된 국소적 해 사이의 연결 고리를 설정하여, 새로운 해 경로를 드러내는 것.

제안 방법

• 부분적으로 PT-대칭 비국소 DS-I 및 DS-II 방정식에 대해 일반적인 유리함 수학적 해를 구성하기 위해 다르부 변환(DT) 방법을 적용한다.
• 비국소 DS-I 방정식의 해를 행렬식으로 표현하고, 비국소 DS-II 방정식의 해를 준-그램 행렬식으로 표현한다.
• 이중 다르부 변환을 사용하여 비국소 DS-II 시스템의 해를 생성함으로써, 다중 도발파 및 하이브리드 파동 패턴을 구축할 수 있다.
• 기본 도발파의 시공간 진화, 특히 임계 시간에서의 특이 행동을 분석하기 위해 유리함 해의 매개변수 조정을 실시한다.
• 변수 변환(예: $x \to -ix$, $t \to -t$)을 적용하여 악조건의 비국소적 해를 잘 정의된 국소적 해, 예를 들어 국소 DS-I 방정식에서의 고차 도발파에 연결한다.
• 해의 특이점 구조를 분석하여, 기본 도발파의 경우 공간 평면에서 전체 쌍곡선 위에서 유한 시간 내에 폭발하는 특이점을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분적으로 PT-대칭 비국소 DS 시스템의 기본 도발파는 유한 시간 내 특이점을 보이며, 만약 그렇다면 그 특이점은 어떤 공간적 구조에서 발생하는가?
• RQ2 이러한 비국소 시스템에서 다중 도발파 솔루션을 구성할 수 있으며, 그 특이점 시간은 국소 시스템과 어떻게 다를까?
• RQ3 기본 도발파와 어두움 및 반다크 라이노멀 이동 파동 간의 상호작용에서 어떤 새로운 파동 패턴이 나타나는가?
• RQ4 부분적으로 PT-대칭 비국소 DS 시스템에서 고차 도발파가 존재하는가, 아니면 고차 유리함 해에서 고차 이동 파동이 생성되는가?
• RQ5 비국소 시스템에서 도발파 생성을 위한 매개변수 조건은 국소 DS 방정식과 비교해 어떻게 다른가, 특히 비선형성의 부호 $\epsilon$ 에서의 차이를 중심으로 한다.

주요 결과

• 부분적으로 PT-대칭 비국소 DS-I 및 DS-II 시스템의 기본 도발파는 일정 배경에서 기인하는 유리함 해이며, 공간 평면에서 전체 쌍곡선 위에서 유한 시간 내에 특이점을 형성한다.
• 다중 유리함 해에서 유도된 다중 도발파 솔루션은 특이점 시간이 쌍 또는 시간 간격으로 나타나며, 국소 시스템에서의 단일 점 폭발과는 다름을 보인다.
• 기본 도발파와 어두움 및 반다크 유리함 이동 파동 간의 상호작용에서 새로운 하이브리드 패턴 파동이 발견되었으며, 이는 이전에 국소 또는 비국소 DS 시스템에서 보고된 바 없는 세 가지의 구별 가능한 파동 패턴을 포함한다.
• 부분적으로 PT-대칭 비국소 DS 시스템에서는 고차 도발파를 발견하지 못하였으며, 대신 고차 유리함 해에서 고차 이동 파동이 유도된다.
• 비국소 DS-II 시스템에서 전 시간 특이점을 가지는 악조건의 해는 단순한 변수 변환을 통해 국소 DS-I 방정식에서 잘 정의된 고차 도발파로 변환될 수 있다.
• 비국소 DS-I 시스템에서는 $\epsilon = \pm 1$ 인 경우 모두 도발파가 존재하지만, 국소 DS-II 시스템에서는 $\epsilon = 1$ 인 경우에만 도발파가 존재하여, 매개변수 의존성에서 핵심적인 차이를 보인다.