[논문 리뷰] Dynamics of several rigid bodies in a two-dimensional ideal fluid and convergence to vortex systems

Olivier Glass, Franck Sueur|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 07.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 2차원 비압축성 이상 유체 내에서 다수의 강체의 역학을 연구하며, 일부 강체의 크기가 서로 다른 관성 스케일링 하에 영으로 수렴함에 따라 그 운동이 점 소용돌이로 수렴하고, 더 큰 강체는 뉴턴 역학을 따르는 것으로 증명한다. 주요 결과는 새로운 정규형 분석과 균일한 유체 속도 추정을 통해 유체-소용돌이 시스템으로의 수렴과 정밀한 점근적 행동을 확립한다.

ABSTRACT

We consider the motion of several solids in a bounded cavity filled with a perfect incompressible fluid, in two dimensions. The solids move according to Newton's law, under the influence of the fluid's pressure, and the fluid dynamics is driven by the 2D incompressible Euler equations, which are set on the time-dependent domain corresponding to the cavity deprived of the sets occupied by the solids. We assume that the fluid vorticity is initially bounded and that the circulations around the solids may be non-zero. The existence of a unique corresponding solution, \\`a la Yudovich, to this system, up to a possible collision, is known. In this paper we identify the limit dynamics of the system when the radius of some of the solids converge to zero depending on how, for each body, the inertia is scaled with the radius. We obtain in the limit some point vortex systems for the solids converging to particles and a form of Newton's law for the solids that have a fixed radius; for the fluid we obtain an Euler-type system. This extends earlier works to the case of several moving rigid bodies. A crucial point is to understand the interaction, through the fluid, between small moving solids, and for that we use some normal forms of the ODEs driving the motion of the solids in two steps: first we use a normal form for the system coupling the time-evolution of all the solids to obtain a rough estimate of the acceleration of the bodies, then we turn to some normal forms that are specific to each small solid, with an appropriate modulation related to the influence of the other solids and of the fluid vorticity, to obtain some precise uniform a priori estimates of the velocities of the bodies, and then pass to the limit.

연구 동기 및 목표

• 강체의 반지름이 영으로 수렴함에 따라 2차원 비압축성 이상 유체 내 다수의 강체의 극한 역학을 분석하는 것.
• 이전의 단일 강체 극한 결과를 다수 강체의 경우로 확장함으로써, 유체에 의해 매개되는 고체 간 상호작용이 분석을 복잡하게 만드는 상황을 다루는 것.
• 각 소형 강체의 관성가 반지름에 따라 어떻게 스케일링되는지에 따라 다른 극한 행동을 식별하는 것—즉, 점 소용돌이 또는 뉴턴 역학으로의 수렴.
• 유체-고체 시스템을 다루기 위한 새로운 분석 프레임워크를 정규형과 균일한 유체 속도 추정에 기반하여 개발하는 것.
• 스케일링 극한 하에서 엄밀하게 극한으로의 전환을 수행하고, 유체 및 고체 역학이 잘 정의된 소용돌이 시스템과 오일러 유사 방정식으로 수렴함을 확립하는 것.

제안 방법

• 초기 코어스피드가 유계이고 순환량이 0이 아닌 경우에 대해 시간에 따라 변하는 도메인에서 유체-고체 시스템에 대해 유도비치 유형 존재 이론을 사용하는 것.
• 이중 단계 정규형 축소: 먼저 고체의 결합 시스템에 대해, 그 다음 각 소형 고체에 대해 개별 정규형을 적용하여 가속도를 추정하는 것.
• 소형 고체 존재 하에서 키르히호프 포텐셜과 반사된 순환 스트림 함수에 대한 형상 도함수 추정을 적용하는 것.
• 고체에 대한 유체 속도장에 대한 균일한 추정을 도출하여, 고정된 순환량을 갖는 발산/회전형 시스템에 대한 반사 방법을 정교화하는 것.
• 스케일링 극한 하에서 시스템의 진화를 제어하기 위해 변형된 에너지 추정을 사용하는 것.
• 콤���트니스 추론과 시간 국소적 수렴 분석을 통해 유체 및 고체 방정식에서 극한으로의 전환을 다루는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강체의 반지름이 영으로 수렴함에 따라 2차원 비압축성 유체 내 다수의 강체 운동은 어떻게 행동하는가?
• RQ2 관성가 반지름에 따라 다르게 스케일링될 때 소형 고체의 극한 역학은 어떠한가—특히 무거운 고체와 가벼운 고체의 경우에 대해?
• RQ3 다수의 움직이는 고체 간 유체에 의해 매개되는 상호작용은 소용돌이 시스템으로의 수렴에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 기존의 단일 고체 극한 기법을 다수 고체의 경우로 확장할 수 있는가, 아니면 새로운 분석 도구가 필요한가?
• RQ5 고체의 위치와 반지름에 대해 유체 속도의 균일한 제어가 소용돌이 극한으로의 수렴을 확립하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 반지름이 영으로 수렴하는 소형 강체의 극한 역학은 관성 스케일링에 따라 달라진다: 가벼운 경우 점 소용돌이로 수렴하고, 무거운 경우 뉴턴 역학을 따르게 된다.
• 고정된 크기의 고체에 대해서는 극한 시스템이 2차원 오일러 방정식과 결합된 뉴턴의 법칙 형태를 만족한다.
• 유체 속도장은 극한 고체 위치의 보조를 제외한 영역에서 2차원 오일러 방정식의 해로 균일하게 수렴한다.
• 수렴은 극한 시스템이 충돌 없이 유지되고 고체가 유체 코어스피드 지지부에 양의 거리를 유지하는 한 임의의 컴팩트한 시간 간격 $[0,T]$에서 성립한다.
• 이 증명은 새로운 이중 단계 정규형 축소와 고체의 위치 및 반지름에 대한 유체 속도의 균일한 추정에 기반한다.
• 분석은 극한에서 충돌이 발생하지 않는 한 원래의 유체-고체 시스템과 동일한 조건 하에서 극한 시스템이 잘 정의되어 있음을 확인한다.