[논문 리뷰] Edge states and universality class of the critical two-box symmetric SU(3) chain

Pierre Nataf, Samuel Gozel외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 20.

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한 줄 요약

이 논문은 임계 두 상자 대칭 SU(3) 스핀 체인에서 고유 표현에서의 표면 상태가 존재하며, 그 에너지가 1/(Ns log Ns)로 스케일링됨을 보여준다. 이는 반정수 스핀 SU(2) 체인을 모방한다. 이러한 표면 상태가 양자 얽힘 엔트로피를 지배하여 이전 DMRG 시뮬레이션에서 SU(3)1 보편성 클래스(c = 2)를 확인하지 못한 이유를 설명한다. 표면에 고유 표현을 부착함으로써 이러한 상태를 선제적으로 차단하면 중심적량이 c = 2에 대해 1% 이내로 복원된다.

ABSTRACT

We numerically demonstrate that, although it is critical, the two-box symmetric $\mathrm{SU}(3)$ chain possesses edge states in the adjoint representation whose excitation energy scales with the number of sites $N_s$ as $1/(N_s \log N_s)$, in close analogy to those found in half-integer $\mathrm{SU}(2)$ chains with spin $S\ge 3/2$. We further show that these edge states dominate the entanglement entropy of finite chains, explaining why it has been impossible so far to verify with DMRG simulations the field theory prediction that this model is in the $\mathrm{SU}(3)_1$ universality class. Finally, we show that these edge states are very efficiently screened by attaching adjoint representations at the ends of the chain, leading to an estimate of the central charge consistent within 1\% with the prediction $c=2$ for $\mathrm{SU}(3)_1$.

연구 동기 및 목표

• 임계 두 상자 대칭 SU(3) 체인에서 이론 예측(SU(3)1, c=2)와 DMRG 시뮬레이션에서 관측된 이질적인 높은 중심적량 사이의 오랜 오해를 해결하기 위해.
• 이전에 SU(3)1 보편성 클래스 확인을 방해했던 DMRG 시뮬레이션에서의 허위 중심적량의 기원을 규명하기 위해.
• 기존에 금속적 위상 상태에서만 알려진 표면 상태가 임계 SU(3) 체인에서도 존재하며, 에너지 스케일이 1/(Ns log Ns)로 스케일링됨을 보여주기 위해.
• 이러한 표면 상태가 체인 끝에 고유 표현을 부착함으로써 효과적으로 선제적으로 차단될 수 있으며, 중심적량의 정확한 추출을 복원할 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 최대 수백 개의 스ites를 갖는 체인에서 개방 경계 조건을 사용한 밀도행렬 군속화(DMRG) 시뮬레이션을 수행하였으며, 표준 양-테이블로 구성된 SU(3)-대칭 기저를 사용하였다.
• 유한한 보드 차원 효과를 최소화하기 위해 기각된 무게를 0으로 외삽하는 데 주의를 기울인 상태에서, Calabrese-Cardy 공식을 사용하여 양자 얽힘 엔트로피 분석을 수행하고 중심적량을 추출하였다.
• 유한한 체인의 스펙트럼을 체계적으로 분석하여 저에너지 상태를 규명하였으며, 특히 표면 상태의 징후로 고유 표현 [2,1,0]에 초점을 맞추었다.
• 체인 끝에 보조 고유 표현을 도입하여 표면 상태를 선제적으로 차단하고, 다시 양자 얽힘 엔트로피와 중심적량을 평가하였다.
• 3으로 나눈 나머지에 따른 양자 얽힘 엔트로피 진동(q = x mod 3)을 분석하고, q = 0과 q = 1,2에 대해 별도의 포락선을 피팅하여 정확도를 향상시켰다.
• 보존자 연산자를 사용한 SU(3) 해밀토니안을 사용하였다: H = J ∑ᵢ ∑_{α,β=1}³ bₐ†ᵢ bᵦᵢ bᵦ†ᵢ₊₁ bₐᵢ₊₁, 두 보존자 대칭 임의 표현 [2,0,0]으로 제한되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 DMRG 시뮬레이션에서 두 상자 대칭 SU(3) 체인의 중심적량은 SU(3)1 보편성 클래스에 대한 예측값 c = 2보다 현저히 높은가?
• RQ2 이 임계 SU(3) 체인에 표면 상태가 존재하는가? 만약 존재한다면, 그 에너지 척도와 표현은 무엇인가?
• RQ3 DMRG에서 관측된 허위 중심적량은 이러한 표면 상태에 의한 얽힘 때문인가?
• RQ4 체인 끝에 고유 표현을 부착함으로써 표면 상태를 선제적으로 차단하면 올바른 중심적량이 복원되는가?
• RQ5 이 임계 SU(3) 체인에서 표면 상태의 에너지가 시스템 크기 Ns에 따라 어떻게 스케일링되는가?

주요 결과

• 두 상자 대칭 SU(3) 체인은 고유 표현 [2,1,0]에서 표면 상태를 지닌다. 이들의 진동 에너지는 1/(Ns log Ns)로 스케일링되며, 반정수 스핀 SU(2) 체인과 유사하다.
• 이러한 표면 상태가 유한한 체인에서의 양자 얽힘 엔트로피를 지배하여, DMRG 시뮬레이션에서 관측된 이질적인 높은 중심적량(≈3.6–3.7)을 설명한다.
• 체인 끝에 고유 표현을 부착하면 표면 상태가 선제적으로 차단되며, 양자 얽힘 엔트로피는 Calabrese-Cardy 공식에 잘 맞으며 중심적량이 c = 2에 대해 1% 이내로 복원된다.
• 선제적으로 차단된 체인에서 추출된 중심적량은 c ≈ 2.00으로 수렴하며, SU(3)1 보편성 클래스를 확인한다.
• 3으로 나눈 나머지에 따른 양자 얽힘 엔트로피 진동(q = 0 대비 q = 1,2)은 별도의 포락선 피팅을 통해 해결되었으며, 중심적량 추정 정확도가 향상되었다.
• 결과적으로 오랫동안 남아있던 수수께끼를 해결하였다: 이론과 수치 계산 간의 명백한 괴리 원인은 표면 상태 기여 때문이며, SU(3)2로의 전이가 아니라는 것을 밝혀냈다.