[논문 리뷰] Efficient Quantum Circuits for Accurate State Preparation of Smooth, Differentiable Functions

Adam Holmes, A. Y. Matsuura|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 09.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 42인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 높은 정밀도로 부드럽고 미분 가능한 실수 함수—예를 들어 가우시안, 로그노멀, 로렌츠 분포 등—을 준비하는 선형 시간 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘은 조각별 다항근사법을 매트릭스 곱 상태(MPS)에 인코딩하고, 낮은 질서의 MPS 압축과 게이트 추출을 활용하여, 조밀한 상태조차도 99% 이상의 정밀도를 달성한다. 이는 근접한 양자 하드웨어에서 양자 알고리즘의 효율적 초기화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Effective quantum computation relies upon making good use of the exponential information capacity of a quantum machine. A large barrier to designing quantum algorithms for execution on real quantum machines is that, in general, it is intractably difficult to construct an arbitrary quantum state to high precision. Many quantum algorithms rely instead upon initializing the machine in a simple state, and evolving the state through an efficient (i.e. at most polynomial-depth) quantum algorithm. In this work, we show that there exist families of quantum states that can be prepared to high precision with circuits of linear size and depth. We focus on real-valued, smooth, differentiable functions with bounded derivatives on a domain of interest, exemplified by commonly used probability distributions. We further develop an algorithm that requires only linear classical computation time to generate accurate linear-depth circuits to prepare these states, and apply this to well-known and heavily-utilized functions including Gaussian and lognormal distributions. Our procedure rests upon the quantum state representation tool known as the matrix product state (MPS). By efficiently and scalably encoding an explicit amplitude function into an MPS, a high fidelity, linear-depth circuit can directly be generated. These results enable the execution of many quantum algorithms that, aside from initialization, are otherwise depth-efficient.

연구 동기 및 목표

• 근접한 양자 하드웨어에서 임의의 양자 상태를 높은 정밀도로 초기화하는 데 있어 해결하기 어려운 과제를 해결하기 위해.
• 특히 몬테카를로 및 양자 머신러닝 알고리즘의 실용적 실행을 가능하게 하기 위해 효율적이고 확장 가능한 상태 준비를 제공하기 위해.
• 유계 도함수를 가진 부드럽고 미분 가능한 실수 함수를 정확하게 표현하는 양자 회로를 구성하는 방법을 개발하기 위해.
• 알고리즘이 고전적 계산 시간에 대해 선형으로 확장되며, 시스템 크기가 증가함에 따라 정밀도를 유지하기 위해.

제안 방법

• 목표로 하는 부드러운 함수를 유계 도함수를 가진 조각별 다항근사법으로 표현한다.
• 각 다항식 세그먼트는 제어된 결합 차원을 가진 매트릭스 곱 상태(MPS)에 인코딩된다.
• 정밀도를 유지하면서도 정밀도를 높이기 위해 변분 압축을 적용하여 MPS를 낮은 유한한 결합 차원으로 압축한다.
• ran2020encoding에서 제안된 알고리즘을 사용하여 압축된 MPS에서 선형 깊이의 양자 회로를 추출한다.
• 전체 절차는 선형 고전적 런타임을 최적화하기 위해 설계되었으며, 주요 병목 현상은 변분 MPS 압축이다.
• 조절 가능한 접근법으로, 정확도와 자원 사용량을 균형 잡기 위해 다항식 차수와 근사 전략을 조정할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 도함수를 가진 부드럽고 미분 가능한 실수 함수는 선형 깊이와 크기의 양자 회로로 높은 정밀도로 준비될 수 있는가?
• RQ2 이러한 함수의 매트릭스 곱 상태 표현이 큐비트 수가 증가함에 따라 보어-바르너 엔트로피가 지수적으로 감소하는가? 이는 효율적 압축을 가능하게 하는가?
• RQ3 조각별 다항근사법과 변분 MPS 압축을 조합하여 선형 고전적 계산 시간 내에 높은 정밀도의 상태 준비를 달성할 수 있는가?
• RQ4 특히 매우 압축된 분포에 대해, 구성된 상태의 정밀도는 시스템 크기와 함수 매개변수화에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ5 이 알고리즘은 저차수 다항식으로 잘 근사 가능한 다른 해석적 함수나 고전적 데이터 세트로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 가우시안, 로그노멀, 로렌츠 분포에 대해 단지 입방 다항식만으로도 99% 이상의 상태 준비 정밀도를 달성한다.
• 다섯 번째 차수 다항식을 사용할 경우 정밀도는 각각 99.8%, 99.91%, 99.95%로 향상되어 다양한 분포에 걸쳐 높은 정확도를 보여준다.
• 구성된 회로와 이론적 최적 상태 간의 최적성 비율은 시스템 크기가 증가함에 따라 일정하거나 향상되며, 확장 가능성을 시사한다.
• SVD 기반의 χ=2 MPS 근사가 큰 시스템 크기에서 높은 정밀도를 유지하며, 낮은 결합 차원 표현이 효과적으로 확장될 수 있음을 지지하는 추측을 뒷받침한다.
• 변분 MPS 압축이 주요 계산 병목이 되지만, 선형 시간 고전적 구성이 가능한 선형 깊이의 양자 회로를 생성할 수 있다.
• 실험 결과는 이산화 수준이 증가함에 따라 정확도가 떨어지지 않음을 보여주며, 이는 큰 양자 시스템으로의 확장 가능성을 뒷받침한다.