[논문 리뷰] Efficient Sequential and Parallel Algorithms for Multistage Stochastic Integer Programming Using Proximity

Jana Cslovjecsek, Friedrich Eisenbrand외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 21.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 강한 모델에서 거의 선형 시간 복잡도를 가지며, 기존의 고정 매개변수 가능(FPT) 알고리즘으로서는 최초로 다단계 스토하스틱 정수계획법에 대한 알고리즘을 제시한다. 이는 원래의 트리 깊이와 ∥A∥∞ 기반의 새로운 근접성 결과를 활용하며, 보완성 조건과 재귀적 분해를 통해 f(d, ∥A∥∞) · n log^O(2d) n 시간 복잡도를 달성한다. 병렬 구현은 PRAM 모델에서 n 개의 프로세서를 사용하여 log^O(2d) n 시간 내에 수행된다.

ABSTRACT

We consider the problem of solving integer programs of the form $\min \{\,c^\intercal x\ \colon\ Ax=b, x\geq 0\}$, where $A$ is a multistage stochastic matrix in the following sense: the primal treedepth of $A$ is bounded by a parameter $d$, which means that the columns of $A$ can be organized into a rooted forest of depth at most $d$ so that columns not bound by the ancestor/descendant relation in the forest do not have non-zero entries in the same row. We give an algorithm that solves this problem in fixed-parameter time $f(d,\|A\|_{\infty})\cdot n\log^{O(2^d)} n$, where $f$ is a computable function and $n$ is the number of rows of $A$. The algorithm works in the strong model, where the running time only measures unit arithmetic operations on the input numbers and does not depend on their bitlength. This is the first fpt algorithm for multistage stochastic integer programming to achieve almost linear running time in the strong sense. For the case of two-stage stochastic integer programs, our algorithm works in time $2^{(2\|A\|_\infty)^{O(r(r+s))}}\cdot n\log^{O(rs)} n$. The algorithm can be also parallelized: we give an implementation in the PRAM model that achieves running time $f(d,\|A\|_{\infty})\cdot \log^{O(2^d)} n$ using $n$ processors. The main conceptual ingredient in our algorithms is a new proximity result for multistage stochastic integer programs. We prove that if we consider an integer program $P$, say with a constraint matrix $A$, then for every optimum solution to the linear relaxation of $P$ there exists an optimum (integral) solution to $P$ that lies, in the $\ell_{\infty}$-norm, within distance bounded by a function of $\|A\|_{\infty}$ and the primal treedepth of $A$. On the way to achieve this result, we prove a generalization and considerable improvement of a structural result of Klein for multistage stochastic integer programs.

연구 동기 및 목표

• 제한된 원본 트리 깊이를 가진 다단계 스토하스틱 정수계획법에 대해 효율적인 순차 및 병렬 알고리즘을 개발한다.
• 입력의 비트 길이에 관계없이 강한 계산 모델에서 고정 매개변수 가능성을 달성한다.
• 원본 트리 깊이와 ∥A∥∞에 의해 매개변수화된 최적 정수해와 선형 타협해 사이의 새로운 근접성 경계를 설정한다.
• 특히 두 단계 문제에 있어서 다항식 및 매개변수 기반 실행 시간에서 이전 알고리즘을 향상시킨다.

제안 방법

• 새로운 근접성 결과 도입: 임의의 최적 선형 타협해에 대해, ∥A∥∞와 원본 트리 깊이 d에 대한 함수로 제한된 ℓ∞-거리 내에 최적 정수해가 존재한다.
• 선형 타협해를 기반으로 한 트리 깊이 기반의 분할 전략을 적용하여, 근접성 경계를 활용해 탐색 공간을 제한한다.
• 보완성 조건을 사용해 강한 제약 조건을 식별하고, 변수 수가 적은 더 작은 부분 문제로 문제를 축소한다.
• 재귀적 분해를 활용: 행렬이 블록 분해 가능하면 부분 문제를 병렬로 해결하고, 그렇지 않으면 이중 기반 선형 프로그램을 사용해 첫 번째 변수를 고정한다.
• 감소된 선형 프로그램의 이중 해를 사용해 최적의 변수 값을 계산하며, 레벨당 log^O(2d) n 시간을 달성하기 위해 Lemma 6.3와 유사한 방법을 사용한다.
• PRAM 모델에서 부분 문제를 프로세서에 할당하고 재귀 단계를 병렬로 실행함으로써 알고리즘을 병렬화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강한 모델에서 거의 선형 시간 복잡도를 가지며 다단계 스토하스틱 정수계획법에 대한 고정 매개변수 가능 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 다단계 스토하스틱 프로그램에서 최적 정수해와 최적 선형 타협해 사이의 구조적 관계는 무엇인가?
• RQ3 두 단계 스토하스틱 프로그램에서 매개변수 r과 s에 대한 의존성을 점점 더 개선할 수 있는가?
• RQ4 원본 트리 깊이와 ∥A∥∞에 대해 고정 매개변수 가능성을 유지하면서 거의 선형 시간 복잡도를 달성할 수 있는가?
• RQ5 선형 수의 프로세서를 사용해 다항로그 시간 복잡도를 달성할 수 있도록 알고리즘을 효율적으로 병렬화할 수 있는가?

주요 결과

• 알고리즘은 f(d, ∥A∥∞) · n log^O(2d) n 시간 내에 실행되어, 다단계 스토하스틱 정수계획법에서 강한 모델에서 거의 선형 시간 복잡도를 달성한다.
• 두 단계 스토하스틱 프로그램의 경우 실행 시간은 2^(2∥A∥∞)^O(r(r+s)) · n log^O(rs) n이며, 다항식 및 매개변수 의존성 측면에서 이전 방법보다 향상된다.
• 근접성 결과는 최적 정수해가 임의의 최적 선형 타협해로부터 ∥A∥∞와 원본 트리 깊이 d에 대한 함수로 제한된 ℓ∞-거리 내에 존재함을 보장한다.
• 알고리즘이 PRAM 모델에서 병렬화 가능하며, n 개의 프로세서를 사용해 log^O(2d) n 시간 내에 수행되며, 순차적 실행 시간 복잡도에 대해 로그 인자 수준에서 일치한다.
• r = 1일 경우, s에 대한 의존성은 Exponential Time Hypothesis 하에 점점 더 엄격하게 최적임을 확인한다.
• 이 접근법은 Klein의 다단계 스토하스틱 정수계획법에 대한 구조적 결과를 일반화하고 향상시키며, 근접성 기반의 새로운 분할 전략을 가능하게 한다.