[논문 리뷰] Ehresmann doubles and Drinfel'd doubles for Lie algebroids and Lie bialgebroids

Kirill C. H. Mackenzie|ArXiv.org|2006. 11. 26.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 1인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 이중 벡터(bundle)에서의 쌍대성(duality)을 이용해 이중 리 대수의 새로운 개념을 제안하며, 리 이중대수의 코탄젠트가 자연스럽게 이중 리 대수의 구조를 지닌다는 것을 보여준다. 주요 기여는 두 쌍대 리 대수의 쌍이 리 이중대수를 이룰 조건이 그들의 코탄젠트 벡터 백터가 이중 리 대수의 구조를 이룬다는 것임을 증명한 것으로, 이는 리 대수의 드린펠트 이중(double)을 리 대수의 맥락으로 일반화한 것이다.

ABSTRACT

The word `double' was used by Ehresmann to mean `an object X in the category of all X'. Double categories, double groupoids and double vector bundles are instances, but the notion of Lie algebroid cannot readily be doubled in the Ehresmann sense, since a Lie algebroid bracket cannot be defined diagrammatically. In this paper we use the duality of double vector bundles to define a notion of double Lie algebroid, and we show that this abstracts the infinitesimal structure (at second order) of a double Lie groupoid. We further show that the cotangent of either Lie algebroid in a Lie bialgebroid has a double Lie algebroid structure, and that a pair of Lie algebroid structures on dual vector bundles forms a Lie bialgebroid if and only if the structures which they canonically induce on their cotangents form a double Lie algebroid. In particular, the Drinfel'd double of a Lie bialgebra has a double Lie algebroid structure. We also show that matched pairs of Lie algebroids, as used by J.-H. Lu in the classification of Poisson group actions, are in bijective correspondence with vacant double Lie algebroids.

연구 동기 및 목표

• 이중 리 대수의 개념을 에르헤스만 이중의 개념으로 일반화하여 리 대수에 적용하는 것.
• 리 이중대수의 코탄젠트 벡터 백터가 자연스럽게 이중 리 대수의 구조를 지닌다는 것을 보여주는 것.
• 두 쌍대 리 대수의 쌍이 리 이중대수를 이룰 조건이 그들의 코탄젠트 벡터 백터에 유도된 구조가 이중 리 대수의 구조를 이룬다는 것과 동치임을 확립하는 것.
• 이러한 구성에 의해 리 이중대수의 드린펠트 이중이 이중 리 대수의 형태로 나타남을 보여주는 것.
• 매칭된 쌍의 리 대수와 빈 이중 리 대수 사이의 관계를 밝혀내어, 쌍대성을 통한 분류를 제공하는 것.

제안 방법

• 이중 벡터 백터의 쌍대성 이론을 사용하여, 이중 벡터 백터 위의 두 리 대수의 구조 간의 호환성을 정의하는 것.
• 유도된 푸아송 구조를 통해 쌍대 벡터 백터의 코탄젠트 벡터 백터에 리 대수의 구조를 구성하는 것.
• $T^*A^*$와 $T^*A$ 사이의 표준 미분동형사상(standard diffeomorphism)을 적용하여 동일한 전체 공간 위의 구조를 식별하는 것.
• 원래의 구조 $A$와 $A^*$가 리 이중대수의 구조를 이룬다 하면, 그 유도된 구조가 $T^*A$ 위에서 이중 리 대수의 구조를 이룬다는 것을 증명하는 것.
• 리 함수자(Lie functor)를 적용하여 이중 리 군의 구조의 무한소 구조가 이중 리 대수의 구조를 이룬다는 것을 보여주는 것.
• 핵심 도형들(도형의 코어 사상과 반시편성형사상(antisymplectomorphisms)의 교환성)의 교환성을 검증하여 푸아송 호환성을 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리 대수의 브라켓이 벡터 백터의 범주에서의 사상이 아니므로, 에르헤스만 이중의 개념을 리 대수로 확장할 수 있는가?
• RQ2 리 이중대수의 코탄젠트 벡터 백터가 자연스럽게 이중 리 대수의 구조를 지닌다 할 수 있는가?
• RQ3 두 쌍대 리 대수의 쌍이 리 이중대수를 이룬다는 조건이, 그들의 코탄젠트 벡터 백터에 유도된 구조가 이중 리 대수의 구조를 이룬다는 것과 동치인가?
• RQ4 리 이중대수의 드린펠트 이중은 새로운 이중 리 대수의 개념과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 매칭된 쌍의 리 대수와 빈 이중 리 대수 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 리 이중대수 $ (A, A^*) $의 코탄젠트 벡터 백터는 이중 리 대수의 구조를 지닌다. 이는 $ (A, A^*) $의 코탄젠트 이중(double)으로 실현된다.
• 쌍대 리 대수 $ A $와 $ A^* $가 리 이중대수를 이룬다는 것과, $ T^*A $와 $ T^*A^* $에 유도된 리 대수의 구조가 이중 리 대수의 구조를 이룬다는 것은 동치이다.
• 이러한 구성에 의해 리 이중대수의 드린펠트 이중이 이중 리 대수의 형태로 실현되며, 고전적 경우를 일반화한다.
• 매칭된 쌍의 리 대수와 빈 이중 리 대수 사이에 일대일 대응이 존재하며, 이는 분류 도구를 제공한다.
• $T^*A$ 위의 이중 리 대수의 구조는 표준 반시편성형사상과 코어 사상의 호환성에서 기인하며, 푸아송 및 반푸아송 사상의 확인을 통해 확인된다.
• 이 구성은 리 함수자와 호환된다: 이중 리 군의 구조의 무한소 구조는 이중 리 대수의 구조를 이룬다.