[논문 리뷰] Ehressman Semigroups Whose Categories are EI and Their Representation Theory

Stuart Margolis, Itamar Stein|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

semigroups and automata theory참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 관련 Ehresmann 범주가 EI-범주인(모든 내항사상이 동형사상인) 유한 우(좌) 제한 Ehresmann 반군의 표현 이론을 조사한다. 이는 그 반군 대수의 단순 모듈이 최대 부분군의 기약 표현에서 유도된 Schur-Zenberger 모듈임을 보이며, 양호한 특성의 체에서 불가약한 프로젝티브 모듈이 일반화된 Green의 관계를 통해 유도됨을 밝힌다. 본 연구는 이러한 반군들이 편의변량을 이룬다는 것을 보이며, 복소수 체에서 부분변환 모노이드 PT_n의 표현 이론에 대해 명시적인 차원 공식과 카르탕 행렬 원소를 제공한다.

ABSTRACT

We study simple and projective modules of a certain class of Ehresmann semigroups, a well-studied generalization of inverse semigroups. Let S be a finite right (left) restriction Ehresmann semigroup whose corresponding Ehresmann category is an EI-category, that is, every endomorphism is an isomorphism. We prove that the simple modules of the semigroup algebra over any field are induced Schutzenberger modules of the irreducible modules of the maximal subgroups of S. Moreover, we show that over fields with good characteristic the indecomposable projective modules can be described in a similar way but using generalized Green's relations instead of the standard ones. We show that the collection of finite Ehresmann semigroups whose categories are EI is a pseudovariety and we show in the infinite case, that the collection of Ehresmann semigroups whose categories have endomorphism monoids each having one idempotent is a quasivariety. As a natural example we consider the monoid PT_n of all partial functions on an n-set. Over the field of complex numbers, we give a natural description of its indecomposable projective modules and obtain a formula for their dimension. Moreover, we find certain zero entries in its Cartan matrix.

연구 동기 및 목표

• 관련 범주가 EI-범주인 유한 우(좌) 제한 Ehresmann 반군의 반군 대수에서 단순 및 프로젝티브 모듈의 구조를 이해하는 것.
• 특히 양호한 특성에서의 체에 대해 이러한 반군의 표현 이론을 특성화하는 것.
• 관련 범주가 EI-범주인 유한 Ehresmann 반군의 집합이 편의변량을 이룬다는 것을 보이는 것.
• 복소수체에서 모노이드 PT_n에 대해 불가약한 프로젝티브 모듈의 자연스러운 기술과 차원 계산을 제공하는 것.
• PT_n의 카르탕 행렬에서 특정 영원소를 규명하는 것.

제안 방법

• 최대 부분군의 기약 표현에 기반하여 단순 모듈을 유도된 Schur-Zenberger 모듈로 기술하는 데 사용.
• 양호한 특성에서 불가약한 프로젝티브 모듈을 일반화된 Green의 관계를 통해 기술하는 데 적용.
• Ehresmann 범주 분석을 통해 내항사상이 동형사상일 경우 반군의 구조적 제약 조건을 도출.
• 편의변량 프레임워크를 활용하여 EI-범주를 갖는 유한 Ehresmann 반군의 닫힘 성질을 보이는 데 활용.
• ℂ에서 표현 이론적 기법을 사용하여 PT_n에 대한 불가약한 프로젝티브 모듈의 차원을 명시적으로 계산.
• 모듈 구조에 기반하여 PT_n의 카르탕 행렬 분석을 통해 특정 영원소를 규명하는 데 활용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 관련 범주가 EI-범주인 유한 우(좌) 제한 Ehresmann 반군의 반군 대수에서 단순 모듈은 그 최대 부분군의 기약 표현과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 이러한 반군에서 양호한 특성의 체에서 불가약한 프로젝티브 모듈의 구조는 무엇이며, 기존 Green의 관계와 어떻게 다를까?
• RQ3 관련 범주가 EI-범주인 유한 Ehresmann 반군의 집합은 특정 대수적 연산에 대해 닫혀 있으며, 따라서 편의변량을 이룬다 할 수 있는가?
• RQ4 복소수체에서 모노이드 PT_n에 대한 불가약한 프로젝티브 모듈의 차원은 얼마인가?
• RQ5 복소수체에서 PT_n의 카르탕 행렬에서 어떤 원소들이 영이며, 이는 모듈 구조에 대해 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• 임의의 체에서 반군 대수의 단순 모듈은 반군의 최대 부분군의 기약 표현에서 유도된 Schur-Zenberger 모듈이다.
• 양호한 특성의 체에서, 불가약한 프로젝티브 모듈은 표준 Green의 관계가 아닌 일반화된 Green의 관계를 통해 기술된다.
• 관련 범주가 EI-범주인 유한 Ehresmann 반군의 집합은 편의변량을 이룬다.
• 복소수체에서 모노이드 PT_n에 대해 불가약한 프로젝티브 모듈의 차원이 명시적으로 계산되었다.
• 복소수체에서 PT_n의 카르탕 행렬은 특정 영원소를 포함하며, 이는 모듈 구조에 기반하여 규명되고 설명되었다.
• 내항사상 모노이드에 각각 하나의 등급원만을 갖는 Ehresmann 반군의 집합은 무한한 경우에 대해 준변량을 이룬다.