[논문 리뷰] Eigenvalue and Dirichlet problem for fully-nonlinear operators in non smooth domains

Isabeau Birindelli, Françoise Demengel|ArXiv.org|2008. 03. 26.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 18인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 유일한 경계 조건으로 균일한 외부 콘 조건을 만족하는 유계 영역에서 완전 비선형, 특이/퇴화 타입의 타원형 연산자에 대해 고유값과 딜리클레 문제의 해가 존재함을 확립한다. 콘 조건을 이용해 장벽 함수를 구성하고, 점성 해 기법을 응용함으로써 양의 고유함수의 존재를 증명하고, 정칙 영역을 통한 정의된 고유값 $\lambda_e$가 양의 초해가 존재하는 $\lambda$의 상한과 같음을 보이며, 이는 최대원리와 $\lambda < \u03bb_e$일 때의 딜리클레 문제 해의 존재성을 보장한다. 주요 기여는 $C^2$ 경계 정규성 대신 기하학적 장벽 기법을 사용하여 비연속 영역으로의 고유값 이론을 확장한 것이다.

ABSTRACT

In this paper we study the maximum principle, the existence of eigenvalue and the existence of solution for the Dirichlet problem for operators which are fully-nonlinear, elliptic but presenting some singularity or degeneracy which are similar to those of the p-Laplacian, the novelty resides in the fact that we consider the equations in bounded domains which only satisfy the exterior cone condition.

연구 동기 및 목표

• 완전 비선형, 특이/퇴화 타입의 타원형 연산자에 대해, $C^2$ 경계를 요구하지 않고 균일한 외부 콘 조건만을 만족하는 영역으로 주요 고유값 이론과 딜리클레 문제 이론을 확장하는 것.
• 이러한 비연속 영역에서 양의 고유함수와 잘 정의된 고유값 $\lambda_e$의 존재를 확립하는 것.
• $\lambda_e = \tilde{\lambda}$임을 증명하여 고유값을 최대원리 조건과 연결하는 것, 여기서 $\tilde{\lambda}$는 양의 초해가 존재하는 $\lambda$의 상한이다.
• $\lambda < \u03bb_e$일 때 최대원리가 성립하고, 우변이 음수인 딜리클레 문제의 해가 존재함을 보이는 것.

제안 방법

• 균일한 외부 콘 조건을 이용해 장벽 함수 $u_o$를 구성함으로써 이전 연구에서 사용된 $C^2$ 경계 정규성의 필요성을 대체한다.
• 고유값 $\bar{\lambda}(\Omega)$를 부등식 $F[u] + h\cdot\nabla u|\nabla u|^\alpha + (V+\lambda)u^{1+\alpha} \leq 0$ 에 대해 양의 초해가 존재하는 $\lambda$의 상한으로 정의한다.
• $\lambda_e = \sup\{\lambda(\Omega') \mid \Omega \subset\subset \Omega' \text{ 정칙 및 유계}\}$로 정의하여, 정칙 영역으로의 근사에 의한 고유값 정의를 제안한다.
• $\tilde{\lambda}$를 $\overline{\Omega}$에서 양의 초해가 존재하는 $\lambda$의 상한으로 정의하고, 컴acts와 점성 해 수렴성을 통해 $\lambda_e = \tilde{\lambda}$임을 증명한다.
• 점성 해 이론과 비교 원리를 이용해 $\lambda < \lambda_e$일 때, $f \leq 0$인 경우 딜리클레 문제의 해가 존재하고, $\gamma$-홀더 연속성임을 증명한다.
• 균일한 홀더 추정과 장벽 구성 기법을 적용하여, 경계에서 0이 되고 $\Omega$ 내부에서 양인 한 해 $\phi_e > 0$를 추출하며, 이는 $\lambda_e$에 대한 고유값 방정식을 만족한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전 비선형, 특이/퇴화 타입의 연산자에 대해, $C^2$ 경계 정규성이 없이 균일한 외부 콘 조건만을 만족하는 영역에서 주요 고유값과 딜리클레 문제를 정의하고 해결할 수 있는가?
• RQ2 정칙 영역으로의 근사를 통해 정의된 고유값 $\lambda_e$가, $\overline{\Omega}$에서 양의 초해가 존재하는 $\lambda$의 상한인 $\tilde{\lambda}$와 동일한가?
• RQ3 영역이 콘 조건만을 만족할 때, $\lambda < \bar{\lambda}(\Omega)$에 대해 최대원리가 성립하는가? 이는 $\lambda_e = \bar{\lambda}(\Omega)$와 동치인가?
• RQ4 비연속 영역에서 $\lambda < \lambda_e$일 때 딜리클레 문제를 해결할 수 있는가? 그리고 그 해는 양이며 홀더 연속인가?
• RQ5 고유값 $\lambda_e$와 경계에서 0이 되는 양의 고유함수 $\phi_e$의 존재성 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• $\lambda_e$는 정칙 영역 $\Omega'$를 포함하는 $\Omega$에 대해 $\lambda(\Omega')$의 상한으로 정의되며, 이는 $\tilde{\lambda}$와 동일하다. 즉, $\lambda_e = \tilde{\lambda}$임을 증명하였다.
• $\Omega$ 내부에서 양이며 $\partial\Omega$에서 0이 되는 양의 고유함수 $\phi_e > 0$가 존재하며, 이는 방정식 $F[\phi_e] + h\cdot\nabla\phi_e|\nabla\phi_e|^\alpha + (V + \lambda_e)\phi_e^{1+\alpha} = 0$ 을 만족함을 확인하여, 비연속 영역에서 주요 고유함수의 존재성을 입증하였다.
• $\lambda < \lambda_e$일 때 최대원리가 성립하며, 임의의 연속 함수 $f \leq 0$에 대해 딜리클레 문제 $F[u] + h\cdot\nabla u|\nabla u|^\alpha + (V + \lambda)u^{1+\alpha} = f$ in $\Omega$, $u = 0$ on $\partial\Omega$ 는 점성 해 $u \geq 0$를 가지며, 이는 $\gamma$-홀더 연속성을 가진다.
• 반복을 통해 구성된 해 시퀀스 $u_n$은 증가하고 $Cu_o$로 유계이며, 이는 홀더 연속성과 컴팩턴스를 통해 해로 수렴함을 보장한다.
• $\bar{\lambda}(\Omega)$는 양의 초해가 존재하는 $\lambda$의 상한으로 정의되며, $\lambda_e \leq \bar{\lambda}(\Omega)$임을 만족한다. 영역 $\Omega$가 정칙일 경우 등호가 성립하지만, 콘 조건만을 만족하는 영역에 대해서는 등호 여부는 열려있다.
• $\lambda < \bar{\lambda}(\Omega)$일 때 최대원리의 타당성은 $\lambda_e = \bar{\lambda}(\Omega)$와 동치이며, 이는 모든 $\lambda < \bar{\lambda}(\Omega)$에 대해 딜리클레 문제의 해 존재성과 동치이다.