[논문 리뷰] Electromagnetic Lagrangian on a causal set that resides on edges rather than points

Roman Sverdlov|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 17.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 원인 집합에서 전자기장 및 스칼라 장 라그랑지안을 재구성하여, 시공간의 점이 아닌 시간적 간선(사건 간 직접적인 원인 관계)에 라그랑지안 밀도를 할당함으로써, 국소성과 로렌츠 불변성을 유지하면서도 이전의 점에 기반한 접근 방식에서 발생하는 비국소성 문제를 해결한다. 유한한 이웃 조건을 통해 '이웃하는 간선'을 정의함으로써, 이론은 국소성을 확보하면서도 거시적 차원에서 로렌츠 불변성을 유지한다.

ABSTRACT

The goal of this paper is to introduce one of the versions of the electromagnetic Lagrangian on a causal set in such a way that would address the non-locality issues inherent to causal set theory. The key idea is that Lagrangian density is assigned to the edges rather than points, and there is a way of defining the concept of "neighboring edges" of a given edge in such a way that each edge has only finitely many neighboring edges which would ultimately allow for the theory to be local. That is to be contrasted with points where every point has infinitely many direct neighbors which is a source of non-locality. The edges are needed in order to define electromagnetic Lagrangian anyway, regardless of the consideration of locality; the novelty of this paper is to assign Lagrangian density to the edges as well. Also, in the other papers edges were both spacelike and timelike, while in this paper they are only timelike. This makes calculations considerably more complicated, but it is crucial in preserving locality since the Lorentz group in a hyperplane perpendicular to the edge is compact only if the edge is timelike.

연구 동기 및 목표

• 원인 집합 이론에서 빛의 원추 구조로 인해 한 점이 무한히 많은 원인적 이웃을 가질 수 있는 비국소성 문제를 해결하기 위해
• 이산 시공간 위에서 스칼라 장 및 게이지 장 이론의 국소적이고 로렌츠 불변인 표현을 개발하기 위해
• 점 기반 라그랑지안 밀도를 간선 기반으로 대체하여, 시간적 간선을 기본 요소로 삼기 위해
• 각 간선이 유한한 수의 상호작용만을 가지도록 보장하기 위해 간선 간의 유한한 이웃 관계를 정의하기 위해
• 간선 기반 라그랑지안의 연속 근사가 표준 장 이론 작용을 재현함을 보여주기 위해

제안 방법

• 원인 집합에서 전자기장 및 스칼라 장 라그랑지안 밀도를 시간적 간선(p ≺* q)에 할당함. 여기서 p와 q는 중간 점이 없이 원인적으로 연결된 사건이다.
• 각 간선의 이웃 간선을 정의하기 위해, a ≺ r ≺ c 를 만족하는 점 r의 수에 상한을 두어, 각 간선이 오직 유한한 수의 이웃 간선만을 가지도록 보장한다.
• 스칼라 장 φ를 점 기반의 장 값이 아닌 두 점 함수 φ(p,q) = (φ(p) + φ(q))/2 로 표현함으로써, 점 기반 장 값의 사용을 피한다.
• 모든 시간적 간선에 대해 합을 취한 작용을 구성하며, 라그랑지안 밀도는 간선의 원인 다이아몬드 α(p,q)를 통해 장 값의 차이에서 유도된다.
• 연속 근사에서 (p+q)/2 → x^μ 와 (q−p)/τ → v^μ 를 통해 간선을 세계선의 접선 벡터로 매핑한다.
• 원인 다이아몬드 α(p,q)에서 장 변화의 시간적 및 공간적 성분 기여를 조합하여 운동 에너지 항 ∂μφ∂^μφ 를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점 기반 라그랑지안 밀도에 의존하지 않고도 원인 집합 위에서 국소적이고 로렌츠 불변인 장 이론을 구성할 수 있는가?
• RQ2 라그랑지안을 점이 아닌 간선에 할당하는 것이, 한 점이 무한히 많은 원인적 이웃을 가질 수 있는 비국소성 문제를 제거하는가?
• RQ3 간선 간의 유한한 이웃 구조가 국소성을 회복하면서도 원인 집합의 기본적인 이산성을 유지하는가?
• RQ4 간선 기반 이산 표현에서 표준 장 이론 작용이 연속 근사에서 어떻게 복원되는가?
• RQ5 시간적 간선의 성질이 횡방향 초평면에서의 컴act한 로렌츠 대칭을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 간선 기반 라그랑지안 표현은 각 간선이 오직 유한한 수의 이웃 간선만을 가지므로, 점 기반 표현에서 발생하는 비국소성 문제를 해결한다.
• 스칼라 장 운동 에너지 항 ∂μφ∂^μφ 는 원인 다이아몬드 α(p,q)에서 장 변화의 시간적 및 공간적 성분의 선형 조합으로서 연속 근사에서 복원된다.
• 작용은 모든 시간적 간선에 대해 합을 취한 형태로 표현되며, 라그랑지안 밀도는 간선를 따라 장이 평균값에서 벗어난 제곱 편차에서 유도된다.
• 시간적 간선의 사용은 횡방향 초평면에서 로렌츠 군이 컴act함을 보장하여, 선호하는 프레임가 생기지 않도록 하고 국소 대칭성을 유지하는 데 필수적이다.
• 무한히 많은 이웃을 가진 포isson 분포의 점을 피하기 위해 점 주변을 유한한 간선 주변으로 대체함으로써, 물리적으로 타당한 이산 장 이론을 가능하게 한다.
• 연속 근사에서 간선의 중심점 (p+q)/2 를 x^μ 으로, 간선 벡터 (q−p)/τ 를 v^μ 으로 매핑함으로써, 간선 기반 라그랑지안이 표준 L(φ,A^μ;x^μ) 에서 L(φ,A^μ;x^μ,v^μ) 으로 일반화됨을 보여준다.