[논문 리뷰] Elliptic Calogero-Moser system from two dimensional current algebra

A. Gorsky, Nikita Nekrasov|ArXiv.org|1994. 01. 06.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 2인용 수 118

한 줄 요약

이 논문은 타원 곡선 위의 $\mathfrak{sl}_N(\mathbb{C})$ 전류 대칭대수의 중심 확장의 코타angent bundle에서 해밀턴 축소를 통해 타원 캘로저로저 시스템을 유도한다. 영점 수준의 순간 운동량 맵 조건을 도입하고 게이지 변환을 수행함으로써 저자들은 크리체버의 라그랑주 행렬을 얻으며, 결과적으로 해밀턴ian이 양자 보정된 결합 상수 $\nu(\nu - 1)$를 가진 타원 캘로저로저 모델을 제공함을 보여준다. 이는 주기적 및 비주기적 토다 사슬을 극한으로서 통합한다.

ABSTRACT

We show that elliptic Calogero-Moser system and its Lax operator found by Krichever can be obtained by Hamiltonian reduction from the integrable Hamiltonian system on the cotangent bundle to the central extension of the algebra of SL(N,C) currents.Elliptic deformation of Yang-Mills theory is presented.

연구 동기 및 목표

• 타원 곡선 위의 전류 대칭대수와 해밀턴 축소를 이용하여 타원 캘로저로저 시스템의 기하학적 및 대수적 유도를 수립하기 위해.
• 타원 곡선 위에서 유리형 섹션과 단일계 조건을 통해 라그랑주 행렬과 통합성 구조의 기원을 명확히 하기 위해.
• 타원 캘로저로저 모델을 2차원 양밀즈 이론의 가설적 타원 변형과 연결하기 위해.
• 타원 케이스에서 베르마 모듈과 인터티윈어의 역할을 탐구하여 삼각함수 케이스의 표현론적 프레임워크를 일반화하기 위해.
• 더 일반적인 통합 시스템, 예를 들어 루이젠아르스 모델이나 토다 사슬의 극한으로서 이 시스템이 어떻게 나타나는지 조사하기 위해.

제안 방법

• 타원 곡선 $\Sigma_\tau$ 위의 $\mathfrak{sl}_N(\mathbb{C})$ 전류의 중심 확장의 코타angent bundle $T^*\widehat{\mathfrak{g}}^{\Sigma_\tau}$에 대해 해밀턴 축소를 수행한다.
• 기하학적 형식이 푸비니-슈트라 메트릭에 비례하는 $\mathbb{C}P^{N-1}$과 동형인 코어지oints 오비트 $\mathcal{O}_\nu^-$ 를 도입한다.
• 영점 수준에서의 순간 운동량 맵 조건인 $\mu = \kappa \bar{\partial}\phi + [\bar{A}, \phi] = \mathrm{i} \nu (\mathrm{Id} - f \otimes f^+) \frac{\delta(z,\bar{z}) dz \wedge d\bar{z}}{\omega}$ 를 적용한다.
• 큰 게이지 변환을 사용하여 $\bar{A}$ 를 상수 대각 행렬로 줄여, 평탄한 접속 모듈리 공간을 고정한다.
• 해당하는 방정식 시스템을 $\phi_{ij}$ 에 대해 풀며, 이를 타우 함수를 이용해 표현한다: $\psi_{ij}(z) = \frac{\nu}{\kappa} \frac{\theta_{11}(z + \frac{a_{ij}}{\kappa})}{\theta_{11}(z)\theta_{11}(\frac{a_{ij}}{\kappa})}$.
• 라그랑주 행렬 $\phi(z,\bar{z})$ 의 불변량에서 해밀턴ian을 추출하며, 특히 $\mathrm{tr}\, \phi^2$ 는 양자 보정이 있는 타원 캘로저로저 해밀턴ian을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타원 곡선 위의 전류 대칭대수에서 해밀턴 축소를 통해 타원 캘로저로저 시스템을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 중심 확장과 심플렉틱 구조는 라그랑주 행렬과 통합성의 실현에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 유리형 섹션의 단일계 성질은 스펙트럴 곡선과 양자 보정과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 이 시스템은 2차원 양밀즈 이론의 변형으로서 필드 이론적 해석은 무엇인가?
• RQ5 타원 캘로저로저 모델은 루이젠아르스 모델이나 토다 사슬과 같은 더 일반적인 통합 시스템의 극한으로 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 타원 캘로저로저 시스템의 라그랑주 행렬은 $\phi_{ij} = \exp\left(\pi \frac{a_{ij}(z - \bar{z})}{\kappa \tau_2}\right) \psi_{ij}(z)$ 로 유도되며, $\psi_{ij}$ 는 자비 타우 함수로 표현된다.
• 해밀턴ian $\mathrm{tr}\, \phi^2$ 는 표준적인 타원 캘로저로저 해밀턴ian을 제공한다: $\sum_i \frac{1}{2} p_i^2 + \frac{\nu^2}{\kappa^2} \sum_{i<j} \wp\left(\frac{a_{ij}}{\kappa}\right) - \wp(z)$.
• 결합 상수 $\nu^2$ 는 기존의 통합 시스템 결과와 일치하는 $\nu(\nu - 1)$ 으로 양자 보정된다.
• 이 시스템은 $a_i = x_i + (j-1)\frac{b}{\kappa}$ 로 스케일링하고 $b \to \infty$ 를 취할 때 주기적 및 비주기적 토다 사슬의 극한으로서 통합된다.
• 이 모델은 작용 $S_\tau = \int_{\Sigma_\tau \times S} \omega \wedge \mathrm{tr}(\phi F_{t\bar{z}} - \varepsilon \phi^2)$ 를 가진 2차원 양밀즈 이론의 타원 변형의 축소로 해석된다.
• 표현론적 구조는 삼각함수 케이스를 일반화하며, 유한 차원 $\alpha \otimes \alpha^*$ 대신 $L^2(\widehat{\mathfrak{g}})$ 분해에서 베르마 모듈 $M_{\lambda,\kappa} \otimes M_{\lambda,\kappa}^*$ 를 사용한다.