[논문 리뷰] BPS/CFT correspondence V: BPZ and KZ equations from qq-characters

Nikita Nekrasov|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 30.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 40인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 ${\mathcal{N}}=2$ 퀘이버 게이지 이론의 $qq$-특성 다항식 프레임워크에서 리우빌 장 이론의 벨라빈-폴리코프-자몰로드치코프(BPZ) 방정식과 WZW 이론의 키니즈니크-자몰로드치코프(KZ)-유사 방정식을 유도한다. $SU(2)^{r-3}$ 게이지 대칭을 가진 선형 퀘이버를 새로운 노드를 가진 확장된 이론에 통합함으로써, 저자들은 초대칭 분할 함수가 BPZ 방정식를 만족함을 보이고, $2n$의 기본형 또는 애드조이ント 물질을 가진 $SU(n)$ 이론들이 각각 네 개의 구멍이 있는 구면과 하나의 구멍이 있는 토러스에서 KZ 방정식의 해를 제공함을 보여준다.

ABSTRACT

We illustrate the use of the theory of $qq$-characters by deriving the BPZ and KZ-type equations for the partition functions of certain surface defects in quiver ${\mathcal N}=2$ theories. We generate a surface defect in the linear quiver theory by embedding it into a theory with additional node, with specific masses of the fundamental hypermultiplets. We prove that the supersymmetric partition function of this theory with $SU(2)^{r-3}$ gauge group verifies the celebrated Belavin-Polyakov-Zamolodchikov equation of two dimensional Liouville theory. We also study the $SU(N)$ theory with $2N$ fundamental hypermultiplets and the theory with adjoint hypermultiplet. We show that the regular orbifold defect in this theory solves the KZ-like equation of the WZW theory on a four punctured sphere and one-punctured torus, respectively. In the companion paper these equations will be mapped to the Knizhnik-Zamolodchikov equations

연구 동기 및 목표

• 4D ${\mathcal{N}}=2$ 퀘이버 게이지 이론의 초대칭 분할 함수와 2차원 conformal field theory(CFT)의 상관 함수 사이의 대응을 수립하는 것.
• 특성 다항식을 통한 $qq$-특성 다항식을 통해 $SU(2)^{r-3}$ 퀘이버 이론의 표면 결함가 리우빌 이론의 벨라빈-폴리코프-자몰로드치코프(BPZ) 방정식를 만족함을 보이는 것.
• $2n$의 기본형 하이퍼멀티플릿 또는 애드조이ント 하이퍼멀티플릿을 가진 $SU(n)$ 퀘이버 이론이 구멍이 난 리만 곡면에서 KZ-유사 방정식의 해를 제공함을 보이는 것.
• $\Omega$-배경에서의 등방성 국소화를 이용한 $qq$-특성 다항식 형식론을 통한 CFT 방정식의 현상학적 유도.

제안 방법

• 저자들은 벡터 다중분야의 수반 스칼라의 정규화된 특성 다항식으로 정의된 $qq$-특성 다항식을 사용하여 게이지 이론 내 복합 연산자를 구성한다.
• 등방성 국소화를 통해 $\Omega$-변형 매개변수 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 를 사용하여 트리, 1-루프, 인스턴턴 기여로 분해된 초대칭 분할 함수를 계산한다.
• 인스턴턴 분할 함수는 $r \times N$의 양의 정수 분할 집합으로서의 합으로 표현되며, 인스턴턴 기여를 포함하는 $\mathfrak{q}_i$ 및 $\mathcal{M}_{\mathbf{\Lambda}}$ 항을 포함한다.
• 기존 퀘이버를 추가 노드를 가진 더 큰 이론에 통합하고 기본형 하이퍼멀티플릿의 질량을 조절함으로써 표면 결함를 생성함으로써, 저자들은 원하는 CFT 방정식를 실현한다.
• 특정한 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 의 극한을 취함으로써 $qq$-특성 다항식 관계로부터 BPZ 및 KZ 방정식를 복원한다.
• 저자들은 Barnes 이중 감마 함수 $\Gamma_2$ 와 $\mathbb{B}_\omega$ 의 보소닉 표현을 사용하여 $\varepsilon_1 \to 0$ 및 $p \to \infty$ 극한에서 분할 함수를 분석하고, 타우 함수와 KZ-유사 구조와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 리우빌 장 이론의 BPZ 방정식는 4D ${\mathcal{N}}=2$ 퀘이버 게이지 이론의 초대칭 분할 함수로부터 어떻게 도출될 수 있는가?
• RQ2 $qq$-특성 다항식은 게이지 이론 관측량으로부터 CFT 상관 함수를 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 $2n$의 기본형 또는 애드조이ント 물질을 가진 $SU(n)$ 퀘이버 이론의 표면 결함는 구멍이 난 리만 곡면에서 KZ 방정식의 해를 어떻게 실현하는가?
• RQ4 $qq$-특성 다항식 형식론의 정확한 극한은 WZW 이론에서 K니즈니크-자몰로드치코프 방정식를 복원하는가?
• RQ5 새로운 노드를 가진 더 큰 이론에 선형 퀘이버를 통합함으로써 분할 함수에 CFT 방정식가 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 추가 노드에 의해 생성된 표면 결함를 가진 $SU(2)^{r-3}$ 퀘이버 이론의 초대칭 분할 함수는 2차원 리우빌 장 이론의 BPZ 방정식를 만족한다.
• $2n$의 기본형 하이퍼멀티플릿을 가진 $SU(n)$ 이론의 경우, 분할 함수는 네 개의 구멍이 있는 구면에서 KZ-유사 방정식의 해를 만족한다.
• $2n$의 기본형 하이퍼멀티플릿을 가진 $SU(n)$ 이론의 경우, 분할 함수는 하나의 구멍이 있는 토러스에서 KZ 방정식의 해를 실현한다.
• 유도는 $qq$-특성 다항식 형식론과 극한 $\varepsilon_1 \to 0$ 에 기반하며, 이 경우 분할 함수는 타우 함수의 곱으로 줄어들며 KZ 방정식의 구조와 일치한다.
• $\varepsilon_3 \to -\varepsilon_1$ 극한에서 $qq$-특성 다항식 관계는 로그 보정이 있는 KZ 방정식와 일치하는 형태로 줄어들며, WZW 이론의 구조가 어떻게 나타나는지 확인한다.
• $\mathbb{B}_\omega$ 연산자의 $p \to \infty$ 극한은 $l$에 대한 $\left(1 - z_\omega / z_{\omega-l}\right)^{-1 - \varepsilon_1 / \varepsilon_3}$ 곱으로 표현되며, 이는 $\varepsilon_1 \to 0$ 극한에서 KZ 방정식의 타우 함수 형태와 일치한다.