[논문 리뷰] Elliptic PDEs with distributional drift and backward SDEs driven by a c{\`a}dl{\`a}g martingale with random terminal time

Francesco Russo, Lukas Wurzer|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 분포적 드리프트를 가진 일반화된 비선형 타원형 편미분방정식의 클래스를 제안하며, $C^1$ 일반해의 존재성과 유일성을 확립한다. 이 편미분방정식들은 임의의 종료 시점이 있는 c{\'a}dl{\'a}g 마르티ン게일에 의해 구동되는 역방향 확률미분방정식(BSDE)과 연결되며, 구동 마르티ン게일에 대한 일반적인 조건 하에서 유일성을 증명한다.

ABSTRACT

We introduce a generalized notion of semilinear elliptic partial differential equations where the corresponding second order partial differential operator $L$ has a generalized drift. We investigate existence and uniqueness of generalized solutions of class $C^1$. The generator $L$ is associated with a Markov process $X$ which is the solution of a stochastic differential equation with distributional drift. If the semilinear PDE admits boundary conditions, its solution is naturally associated with a backward stochastic differential equation (BSDE) with random terminal time, where the forward process is $X$. Since $X$ is a weak solution of the forward SDE, the BSDE appears naturally to be driven by a martingale. In the paper we also discuss the uniqueness of a BSDE with random terminal time when the driving process is a general c{a}dl{a}g martingale.

연구 동기 및 목표

• 분포적 드리프트를 포함하도록 비선형 타원형 편미분방정식을 일반화하여 허용 가능한 생성자 클래스를 넓힘.
• 이러한 편미분방정식에 대해 $C^1$ 일반해의 존재성과 유일성을 확립함.
• 앞서 정의된 전방 마르티ン게일이 $X$인 역방향 확률미분방정식(BSDE)과 PDE 해를 연결함.
• 구동 과정이 임의의 종료 시점이 있는 일반적인 c{\'a}dl{\'a}g 마르티ン게일일 경우 역방향 확률미분방정식의 해의 유일성에 대해 연구함.

제안 방법

• 분포적 드리프트를 가진 두 번째 순서 연산자 $L$의 일반화된 개념을 확립하기 위해 확률미분방정식의 약한 해를 활용함.
• 분포적 드리프트를 가진 확률미분방정식의 약한 해로서 전방 마르티ン게일 과정 $X$를 구성함.
• 전방 과정이 $X$인 임의의 종료 시점이 있는 역방향 확률미분방정식을 정의함.
• 마르티ン게일 표현 성질을 이용해 c{\'a}dl{\'a}g 마르티ン게일에 의해 구동되는 BSDE를 유도함.
• 함수해석 기법을 적용하여 PDE의 $C^1$ 해의 존재성과 유일성을 증명함.
• c{\'a}dl{\'a}g 마르티ン게일 구동자에 대한 일반적인 조건 하에서 BSDE 해의 유일성을 확보함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분포적 드리프트를 가진 비선형 타원형 편미분방정식은 $C^1$ 일반해를 가질 수 있으며, 만약 그렇다면 어떤 조건에서 가능할까?
• RQ2 이러한 PDE의 해는 어떻게 자연스럽게 임의의 종료 시점이 있는 역방향 SDE와 연결되는가?
• RQ3 c{\'a}dl{\'a}g 마르티ン게일에 의해 구동되고 임의의 종료 시점이 있는 역방향 SDE의 해에 대해 어떤 조건이 해의 유일성을 보장하는가?
• RQ4 분포적 드리프트를 가진 전방 확률미분방정식의 약한 해 구조는 BSDE 설정에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 분포적 드리프트를 가진 비선형 타원형 편미분방정식에 대해 $C^1$ 일반해의 존재성과 유일성을 확립함.
• PDE의 해가 임의의 종료 시점이 있는 역방향 SDE의 해와 동치임을 보여줌.
• 전방 SDE의 약한 해 성격으로 인해 BSDE는 c{\'a}dl{\'a}g 마르티ン게일에 의해 구동됨.
• c{\'a}dl{\'a}g 마르티ン게일 구동자에 대한 일반적인 조건 하에서 BSDE 해의 유일성이 증명됨.